関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ （$a \le x \le a+1$）の最小値 $m(a)$ を求める問題です。場合分けの条件と、それぞれのケースにおける $m(a)$ の式を完成させます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ （$a \le x \le a+1$）の最小値 $m(a)$ を求める問題です。場合分けの条件と、それぞれのケースにおける $m(a)$ の式を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -2(x-1)^2 + 2 + 1 = -2(x-1)^2 + 3$

したがって、$f(x)$ のグラフは頂点が $(1, 3)$ で、直線 $x=1$ を軸とする上に凸の放物線です。

区間 $a \le x \le a+1$ の中央は $x = \frac{a + (a+1)}{2} = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$ です。

軸 $x=1$ と区間の中央 $x=a + \frac{1}{2}$ の大小で場合分けします。

(i) $a + \frac{1}{2} \ge 1$ のとき、つまり $a \ge \frac{1}{2}$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ は軸 $x=1$ より右側にあります。したがって、この区間で $f(x)$ は単調減少なので、$x=a+1$ で最小値をとります。

$m(a) = f(a+1) = -2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = -2(a^2 + 2a + 1) + 4a + 4 + 1 = -2a^2 - 4a - 2 + 4a + 5 = -2a^2 + 3$

(ii) $a + \frac{1}{2} < 1$ のとき、つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき、区間 $a \le x \le a+1$ は軸 $x=1$ を含みます。したがって、この区間で $f(x)$ の最小値は $x=a$ のとき、または $x=a+1$ のときです。区間の中央$x=a + \frac{1}{2}$を境に軸から離れるほど小さくなります。区間の中心が軸より左側なので、最小値をとるのは$x=a$のときです。

$m(a) = f(a) = -2a^2 + 4a + 1$

$a < \frac{1}{2}$のとき、区間$a \le x \le a+1$で$x=a$で最小値をとるとき、

$f(a) = -2a^2 + 4a + 1$

$a \ge \frac{1}{2}$のとき、区間$a \le x \le a+1$で$x=a+1$で最小値をとるとき、

$f(a+1) = -2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = -2a^2 + 3$

3. 最終的な答え

ア：(1, 3)

イ：1

ウ：$a + \frac{1}{2}$

エ：$\frac{1}{2}$

(i) $a < \frac{1}{2}$ のとき

$m(a) = -2a^2 + 4a + 1$

オ：-2

カ：4

キ：1

(ii) $a \ge \frac{1}{2}$ のとき

$m(a) = -2a^2 + 3$