与えられた放物線 $f(x)$ は頂点が $(1, -2)$ であり、軸が $x = 1$ である。区間 $0 \le x \le k$ における $f(x)$ の最小値を $m(k)$ とする。$0 < k < \text{ウ}$ のときと $k \ge \text{ウ}$ のときの場合分けで、$m(k)$ を $k$ の式で表す。

1. 問題の内容

与えられた放物線 $f(x)$ は頂点が $(1, -2)$ であり、軸が $x = 1$ である。区間 $0 \le x \le k$ における $f(x)$ の最小値を $m(k)$ とする。$0 < k < \text{ウ}$ のときと $k \ge \text{ウ}$ のときの場合分けで、$m(k)$ を $k$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = a(x-1)^2 - 2$ と表せる。$a$ の値が不明なので、ここでは $a > 0$ (下に凸) と仮定して問題を解く。もし $a < 0$ (上に凸) ならば、最大値を考えることになり、解法が異なる。

(i) $0 < k < 1$ のとき:

区間 $0 \le x \le k$ において、$x = k$ で最小値をとる。

よって、$m(k) = f(k) = a(k-1)^2 - 2 = a(k^2 - 2k + 1) - 2 = ak^2 - 2ak + a - 2$.

したがって、$0 < k < 1$ であり、$m(k) = ak^2 - 2ak + a - 2$.

(ii) $k \ge 1$ のとき:

区間 $0 \le x \le k$ において、$x = 1$ で最小値をとる。

よって、$m(k) = f(1) = -2$.

このとき、$a$ の値は $m(k)$ に影響しない。

したがって、

(i) $0 < k < 1$ のとき、$m(k) = ak^2 - 2ak + a - 2$.

(ii) $k \ge 1$ のとき、$m(k) = -2$.

3. 最終的な答え

ア: (1, -2)

イ: 1

ウ: 1

エ: a

オ: -2a

カ: a-2

キ: 0

ク: 0

ケ: -2