数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とするとき、$T_n = 5^n - 1$ が成り立つ。このとき、$b_n$ の一般項と $\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とするとき、$T_n = 5^n - 1$ が成り立つ。このとき、$b_n$ の一般項と $\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$b_n$ を求める。

$T_n = 5^n - 1$ より、

$T_1 = b_1 = 5^1 - 1 = 4$.

$n \ge 2$ のとき、

$b_n = T_n - T_{n-1} = (5^n - 1) - (5^{n-1} - 1) = 5^n - 5^{n-1} = 5^{n-1}(5-1) = 4 \cdot 5^{n-1}$.

これは $n=1$ のときも成り立つので、

$b_n = 4 \cdot 5^{n-1}$ である。

次に、$\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$ を求める。

$\frac{1}{b_k} = \frac{1}{4 \cdot 5^{k-1}} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$.

したがって、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$.

これは初項 $1$, 公比 $\frac{1}{5}$, 項数 $n$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1 - \frac{1}{5^n}}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right)$.

よって、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right) = \frac{5}{16}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right)$.

3. 最終的な答え

$b_n = 4 \cdot 5^{n-1}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} = \frac{5}{16}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right)$