(2) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解しなさい。 (4) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

(2) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解しなさい。

(4) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

(2)

まず、式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - a^2b + ca^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2$

共通因数を見つけてくくり出します。

$ab(b-a) + a c (a-c) + bc(c-b)$

さらに変形します。

$-ab(a-b) -ac(c-a) + bc(c-b)$

ここで、$(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$の形にすると因数分解ができると考えます。

$-ab(a-b) - ac(c-a) + bc(c-b) = -ab(a-b) + ac(a-c) - bc(b-c)$

$= -ab(a-b) + a c (a-b+b-c) - bc(b-c)$

$= -ab(a-b) + a c (a-b) + ac(b-c) - bc(b-c)$

$= (a-b)(-ab + ac) + (b-c)(ac - bc)$

$= a(a-b)(c-b) + c(b-c)(a-b)$

$= -a(a-b)(b-c) + c(b-c)(a-b)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、与式は

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = -(a-b)(b-c)(c-a)$

(4)

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca)$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

これに$abc$を加えると、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

ここで、$a$について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + bc + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b(b+c) + c(2b+c)) + bc(b+c)$

$(a+b)(a+c)(b+c) = (a+b)(ac + bc + a^2 + ab) = a^2c + abc + a^3 + a^2b + abc + b^2c + a^2b + ab^2 = a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc$

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(bc+ba+c^2+ca) + abc = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + ac^2 + a^2c + 3abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(4) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$