* 問題1: $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、(1) $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のときの $\cos\theta, \tan\theta$ の値を求め、(2) $\tan\theta = 2$ のときの $\cos\theta, \sin\theta$ の値を求める。 * 問題2: 実数 $a$ に対し、$f(x) = x^2 - 2ax + (2a+1)(a-1)$ の最小値を $m$ とする。$f(x)=0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ を持つとき、(1) $m$ を $a$ で表し、(2) $\alpha < 1 < \beta$ を満たすときの $a$ の取りうる値の範囲を求め、(3) (2) で求めた範囲で $a$ が動くときの $m$ の取りうる値の範囲を求める。 * 問題3: 2つの2次方程式 $x^2 + kx + 2k = 0$ と $x^2 - 2kx - 3k + 4 = 0$ がともに異なる2つの実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。 * 問題4: 3点 $(1, -3), (2, 2), (-1, -1)$ を通る2次関数を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

* 問題1: $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、(1) $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のときの $\cos\theta, \tan\theta$ の値を求め、(2) $\tan\theta = 2$ のときの $\cos\theta, \sin\theta$ の値を求める。

* 問題2: 実数 $a$ に対し、$f(x) = x^2 - 2ax + (2a+1)(a-1)$ の最小値を $m$ とする。$f(x)=0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ を持つとき、(1) $m$ を $a$ で表し、(2) $\alpha < 1 < \beta$ を満たすときの $a$ の取りうる値の範囲を求め、(3) (2) で求めた範囲で $a$ が動くときの $m$ の取りうる値の範囲を求める。

* 問題3: 2つの2次方程式 $x^2 + kx + 2k = 0$ と $x^2 - 2kx - 3k + 4 = 0$ がともに異なる2つの実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

* 問題4: 3点 $(1, -3), (2, 2), (-1, -1)$ を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1:

* (1) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$。 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$。

* (2) $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2$ より、$\sin\theta = 2\cos\theta$。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入して、$(2\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$。$5\cos^2\theta = 1$。$\cos^2\theta = \frac{1}{5}$。$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ($\theta$ が鋭角より $\cos\theta > 0$)。$\sin\theta = 2\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$。

* 問題2:

* (1) $f(x) = x^2 - 2ax + (2a+1)(a-1) = (x-a)^2 - a^2 + (2a+1)(a-1) = (x-a)^2 -a^2 +2a^2-2a+a-1 = (x-a)^2 + a^2 - a - 1$。よって、$m = a^2 - a - 1$。

* (2) $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つので、判別式 $D = (-2a)^2 - 4(2a+1)(a-1) = 4a^2 - 4(2a^2-a-1) = -4a^2 + 4a + 4 > 0$。$-a^2 + a + 1 > 0$。$a^2 - a - 1 < 0$。$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

$f(1) = 1 - 2a + (2a+1)(a-1) = 1 - 2a + 2a^2 - a - 1 = 2a^2 - 3a < 0$。$a(2a-3) < 0$。$0 < a < \frac{3}{2}$。

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < a < \frac{3}{2}$。($\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$、$\frac{3}{2} = 1.5$ なので)

* (3) $m = a^2 - a - 1 = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$。$0 < a < \frac{3}{2}$ の範囲で $m$ の取りうる値を考える。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$m = -\frac{5}{4}$。$a = 0$ のとき、$m = -1$。$a = \frac{3}{2}$ のとき、$m = (\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} - 1 = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$。よって、$-\frac{5}{4} \le m < -\frac{1}{4}$。

* 問題3:

* $x^2 + kx + 2k = 0$ の判別式 $D_1 = k^2 - 8k > 0$。$k(k-8) > 0$。$k < 0, 8 < k$。

* $x^2 - 2kx - 3k + 4 = 0$ の判別式 $D_2 = (-2k)^2 - 4(-3k+4) = 4k^2 + 12k - 16 > 0$。$k^2 + 3k - 4 > 0$。$(k+4)(k-1) > 0$。$k < -4, 1 < k$。

* よって、$k < -4, 8 < k$。

* 問題4:

* $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

* $(1, -3)$ を通るから $-3 = a + b + c$。

* $(2, 2)$ を通るから $2 = 4a + 2b + c$。

* $(-1, -1)$ を通るから $-1 = a - b + c$。

* $a+b+c = -3$、$4a+2b+c = 2$、$a-b+c = -1$ を解く。

* $4a + 2b + c = 2$ から $a + b + c = -3$ を引くと $3a + b = 5$。

* $a - b + c = -1$ から $a + b + c = -3$ を引くと $-2b = 2$。$b = -1$。

* $3a + b = 5$ に $b = -1$ を代入すると $3a - 1 = 5$。$3a = 6$。$a = 2$。

* $a + b + c = -3$ に $a = 2, b = -1$ を代入すると $2 - 1 + c = -3$。$1 + c = -3$。$c = -4$。

* よって、$y = 2x^2 - x - 4$。

3. 最終的な答え

* 問題1: (1) $\cos\theta = \frac{4}{5}, \tan\theta = \frac{3}{4}$ (2) $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}, \sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

* 問題2: (1) $m = a^2 - a - 1$ (2) $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < a < \frac{3}{2}$ (3) $-\frac{5}{4} \le m < -\frac{1}{4}$

* 問題3: $k < -4, 8 < k$

* 問題4: $y = 2x^2 - x - 4$