$a$ を実数の定数とする。関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3a$ について、以下の問題を解きます。 (1) $0 \le x \le 2$ における最小値 $m$ を求めてください。 (2) $0 \le x \le 2$ における最大値 $M$ を求めてください。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3a$ について、以下の問題を解きます。

(1) $0 \le x \le 2$ における最小値 $m$ を求めてください。

(2) $0 \le x \le 2$ における最大値 $M$ を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + 3a = (x - a)^2 - a^2 + 3a$

したがって、軸は $x = a$ となります。

(1) 最小値 $m$ を求める。

$0 \le x \le 2$ における最小値を考えるので、軸 $x = a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $[0, 2]$ において $f(x)$ は単調増加なので、最小値は $f(0)$ となります。

$m = f(0) = 0^2 - 2a(0) + 3a = 3a$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ に軸が含まれるので、最小値は頂点の $f(a)$ となります。

$m = f(a) = -a^2 + 3a$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ において $f(x)$ は単調減少なので、最小値は $f(2)$ となります。

$m = f(2) = 2^2 - 2a(2) + 3a = 4 - 4a + 3a = 4 - a$

(2) 最大値 $M$ を求める。

$0 \le x \le 2$ における最大値を考えるので、軸 $x = a$ の位置によって場合分けします。

最大値は、区間の端点である $x = 0$ または $x = 2$ のいずれかで取ります。

(i) $a \le 1$ のとき、$f(0) \ge f(2)$ となるので、最大値は $f(0)$ となります。

$M = f(0) = 3a$

$|0-a| \ge |2-a|$ すなわち $(0-a)^2 \ge (2-a)^2$ を解くと、$a \le 1$ となる。

(ii) $a > 1$ のとき、$f(0) < f(2)$ となるので、最大値は $f(2)$ となります。

$M = f(2) = 4 - a$

$|0-a| < |2-a|$ すなわち $(0-a)^2 < (2-a)^2$ を解くと、$a > 1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $m$ について

$a < 0$ のとき、$m = 3a$

$0 \le a \le 2$ のとき、$m = -a^2 + 3a$

$a > 2$ のとき、$m = 4 - a$

(2) 最大値 $M$ について

$a \le 1$ のとき、$M = 3a$

$a > 1$ のとき、$M = 4 - a$