$\theta$ についての方程式 $\cos 2\theta - 2a \cos \theta + 2a + 1 = 0$ （ただし、$0 \leq \theta \leq \pi$）がある。$a$ は定数である。 (1) 方程式が $\theta = \frac{\pi}{2}$ を解にもつとき、$a$ の値を求める。 (2) $t = \cos \theta$ とおくとき、$\cos 2\theta$ を $t$ を用いて表す。また、$a = -\frac{1}{2}$ のとき、方程式を解く。 (3) 方程式を満たす $\theta$ の値がただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ についての方程式 $\cos 2\theta - 2a \cos \theta + 2a + 1 = 0$ （ただし、$0 \leq \theta \leq \pi$）がある。$a$ は定数である。

(1) 方程式が $\theta = \frac{\pi}{2}$ を解にもつとき、$a$ の値を求める。

(2) $t = \cos \theta$ とおくとき、$\cos 2\theta$ を $t$ を用いて表す。また、$a = -\frac{1}{2}$ のとき、方程式を解く。

(3) 方程式を満たす $\theta$ の値がただ1つであるとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ を方程式に代入すると、

$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - 2a \cos(\frac{\pi}{2}) + 2a + 1 = 0$

$\cos(\pi) - 2a \cdot 0 + 2a + 1 = 0$

$-1 + 2a + 1 = 0$

$2a = 0$

$a = 0$

(2) $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ であるから、

$\cos 2\theta = 2t^2 - 1$

$a = -\frac{1}{2}$ のとき、方程式は

$\cos 2\theta - 2(-\frac{1}{2}) \cos \theta + 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 0$

$2t^2 - 1 + \cos \theta - 1 + 1 = 0$

$2t^2 + t - 1 = 0$

$(2t - 1)(t + 1) = 0$

$t = \frac{1}{2}, -1$

$t = \cos \theta$ より、$\cos \theta = \frac{1}{2}, -1$

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$\cos \theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \pi$

(3) 方程式を $t$ で表すと、

$2t^2 - 1 - 2at + 2a + 1 = 0$

$2t^2 - 2at + 2a = 0$

$t^2 - at + a = 0$

$t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4a}}{2}$

$\cos \theta = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4a}}{2}$

方程式を満たす $\theta$ の値がただ1つであるとき、

(i) $a^2 - 4a < 0$ のとき、$a^2 - 4a = a(a-4) < 0$ より、$0 < a < 4$

このとき、$t = \frac{a}{2}$ となり、$0 \leq \theta \leq \pi$ で $\cos \theta$ がただ一つの値をとるためには、$-1 \leq \frac{a}{2} \leq 1$ が必要である。

$-2 \leq a \leq 2$

したがって、$0 < a \leq 2$

(ii) $a^2 - 4a = 0$ のとき、$a=0, 4$

$a=0$ のとき、$t=0$。$\cos \theta = 0$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{2}$ のみなので、条件を満たす。

$a=4$ のとき、$t=2$。$\cos \theta = 2$ となる $\theta$ は存在しないので、条件を満たさない。

(iii) $a^2 - 4a > 0$ のとき、$a < 0$ または $a > 4$

$\cos \theta = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4a}}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ で $\cos \theta$ がただ一つの値をとるためには、$\frac{a + \sqrt{a^2 - 4a}}{2} > 1$ または $\frac{a - \sqrt{a^2 - 4a}}{2} < -1$ である必要がある。

$a<0$ のとき、$\frac{a + \sqrt{a^2 - 4a}}{2}$ は負の値なので、$\frac{a + \sqrt{a^2 - 4a}}{2} \geq -1$を満たす必要がある。

この場合、$a=-1$ で $\cos \theta$ が一つになる場合が存在する。

$\frac{a - \sqrt{a^2 - 4a}}{2} < -1$ について

$a - \sqrt{a^2 - 4a} < -2$

$a + 2 < \sqrt{a^2 - 4a}$

$(a+2)^2 < a^2 - 4a$

$a^2 + 4a + 4 < a^2 - 4a$

$8a < -4$

$a < -\frac{1}{2}$

よって、求める $a$ の範囲は、$a \leq -\frac{1}{2}, a=0, 0 < a \leq 2$ つまり $a \leq 2$。ただし、$a=4$は除かれる。

$\frac{a + \sqrt{a^2 - 4a}}{2} > 1$ について

$a + \sqrt{a^2 - 4a} > 2$

$\sqrt{a^2 - 4a} > 2 - a$

$a > 4$ のとき、$2 - a < 0$ なので、$a^2 - 4a > 0$ を満たす $a > 4$ ならば常に成り立つ。

$a > 4$ のとき $\theta$ の値は２つとなる。

結論として、$a \leq -\frac{1}{2}$, $a = 0$, $0 < a \leq 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 0$

(2) $\cos 2\theta = 2t^2 - 1$, $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi$

(3) $a \leq -\frac{1}{2}, a = 0, 0 < a \leq 2$