2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ (ただし、$a$ は定数) が与えられている。 (1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。 (2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。 (3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ (ただし、$a$ は定数) が与えられている。

(1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。

(2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成する。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

よって、頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$。

(2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するとき、$f(x) = 0$ の判別式 $D$ が $D = 0$ となる。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a+2) = 4a^2 - 4a - 8$

$D = 0$ より、

$4a^2 - 4a - 8 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2, -1$

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点を持つ条件を考える。

$f(x) = 0$ が $-1 < x < 3$ にただ1つの解を持つ場合と、重解を持つ場合を考える。

頂点の $x$ 座標が $-1 < x < 3$ の範囲にあるとき、

$f(-1) f(3) \le 0$ となる。

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 2 = 1 + 2a + a + 2 = 3a + 3$

$f(3) = (3)^2 - 2a(3) + a + 2 = 9 - 6a + a + 2 = 11 - 5a$

$(3a + 3)(11 - 5a) \le 0$

$3(a + 1)(11 - 5a) \le 0$

$(a + 1)(5a - 11) \ge 0$

$a \le -1$ または $a \ge \frac{11}{5}$

また、判別式が $D=0$ のとき、$a = 2, -1$。

$a = 2$ のとき、頂点の $x$ 座標は $2$ で、$-1 < 2 < 3$ を満たす。

$a = -1$ のとき、頂点の $x$ 座標は $-1$ で、$-1 < -1 < 3$ を満たさない。

次に、$f(-1) = 0$ または $f(3) = 0$ の場合を考える。

$f(-1) = 3a + 3 = 0$ より、$a = -1$。このとき、$x = -1$ は解であるが、$-1 < x < 3$ の範囲には含まれない。

$f(3) = 11 - 5a = 0$ より、$a = \frac{11}{5}$。このとき、$x = 3$ は解であるが、$-1 < x < 3$ の範囲には含まれない。

$f(x)=0$ が $-1<x<3$ の範囲に重解を持つとき、$a=2$または$a=-1$であった。

$a=2$のとき重解は$x=2$であり、$-1<2<3$を満たす。

$a=-1$のとき重解は$x=-1$であり、$-1<x<3$を満たさない。

$a < -1$ のとき、$f(-1) < 0, f(3) > 0$ であり、$f(x) = 0$ の解は $-1 < x < 3$ に１つ存在する。

$a > \frac{11}{5}$ のとき、$f(-1) > 0, f(3) < 0$ であり、$f(x) = 0$ の解は $-1 < x < 3$ に１つ存在する。

$a = -1$ のとき、$f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0$。解は $x = -1$ であり、$-1 < x < 3$ の範囲に含まれない。

$a = \frac{11}{5}$ のとき、$f(x) = x^2 - \frac{22}{5}x + \frac{11}{5} + 2 = x^2 - \frac{22}{5}x + \frac{21}{5}$。解は $x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 105}}{5} = \frac{11 \pm 4}{5} = 3, \frac{7}{5}$。$x = 3$ は範囲に含まれないが、$x = \frac{7}{5}$ は範囲に含まれる。

したがって、求める $a$ の範囲は $a \le -1$ または $a \ge \frac{11}{5}$。ただし、$f(-1)f(3)=0$となる$a=-1, \frac{11}{5}$は除外。

$a < -1$, $a=2$または $a>\frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(a, -a^2 + a + 2)$

(2) $a$ の値: $a = 2, -1$

(3) $a$ の値の範囲: $a < -1$, $a = 2$, $a > \frac{11}{5}$