問題5は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ (ただし、$a$ は定数) について、以下の3つの問いに答える問題です。 (1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。 (2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。 (3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題5は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ (ただし、$a$ は定数) について、以下の3つの問いに答える問題です。

(1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。

(2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。

$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$ です。

(2) $y = f(x)$ が $x$ 軸と接するときの $a$ の値を求める。

$y = f(x)$ が $x$ 軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a + 2) = 4a^2 - 4a - 8$

$D = 0$ より、

$4a^2 - 4a - 8 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

よって、$a = 2, -1$ です。

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$ であり、軸は $x = a$ である。

(i) $f(-1)f(3) < 0$ のとき

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 2 = 1 + 2a + a + 2 = 3a + 3$

$f(3) = 3^2 - 2a(3) + a + 2 = 9 - 6a + a + 2 = -5a + 11$

$(3a + 3)(-5a + 11) < 0$

$3(a + 1)(-5a + 11) < 0$

$(a + 1)(-5a + 11) < 0$

$(a + 1)(5a - 11) > 0$

$a < -1$ または $a > \frac{11}{5}$

(ii) $-1 < a < 3$ かつ $f(a) = -a^2 + a + 2 = 0$ のとき

$-a^2 + a + 2 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2, -1$

$-1 < a < 3$ より $a = 2$

(iii) 軸が $-1$ にあり，$f(-1)=0$のとき：

$a = -1$

$f(-1) = 3a+3=0$なので、$x = -1$ で軸と交わるとき。

$a=-1$ のとき、$-1<x<3$ で共有点をもたない。

(iv) 軸が $3$ にあり，$f(3)=0$のとき：

$a = 3$

$f(3) = -5a+11 = -15+11 = -4$となり、$f(3)\neq 0$なのであり得ない。

(v) $f(-1) = 0$ かつ $a \leq -1$ のとき、$3a+3=0$より$a=-1$。$f(x) = (x+1)^2$ となるので、$x > -1$ のとき $f(x) > 0$ より共有点はただ一つ。

(vi) $f(3) = 0$ かつ $a \geq 3$ のとき、$-5a+11=0$より$a=\frac{11}{5}$。これは、$a \geq 3$を満たさないので不適。

(i),(ii),(v) より、$a < -1$ または $a > \frac{11}{5}$ または $a=2$または$a=-1$

したがって、$a \le -1$または $a \ge \frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(a, -a^2 + a + 2)$

(2) $a$ の値：$a = 2, -1$

(3) $a$ の値の範囲：$a \le -1$ または $a \ge \frac{11}{5}$