2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ (aは定数) が与えられている。 (1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。 (2) $y = f(x)$ がx軸と接するときのaの値を求める。 (3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつようなaの値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ (aは定数) が与えられている。

(1) $y = f(x)$ の頂点の座標を求める。

(2) $y = f(x)$ がx軸と接するときのaの値を求める。

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつようなaの値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成する。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

よって、頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$ である。

(2) $y = f(x)$ がx軸と接する条件は、判別式 $D = 0$ である。

または、頂点のy座標が0となることである。

$-a^2 + a + 2 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2, -1$

(3) $y = f(x)$ が $-1 < x < 3$ の範囲でただ1つの共有点をもつ条件を考える。

$f(x) = (x-a)^2 -a^2+a+2$

(i) $f(-1) > 0$ かつ $f(3) < 0$ のとき

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a + 2 = 1 + 2a + a + 2 = 3a + 3 > 0$ より $a > -1$

$f(3) = 3^2 - 2a(3) + a + 2 = 9 - 6a + a + 2 = -5a + 11 < 0$ より $a > \frac{11}{5}$

よって $a > \frac{11}{5}$

(ii) $f(-1) < 0$ かつ $f(3) > 0$ のとき

$f(-1) = 3a + 3 < 0$ より $a < -1$

$f(3) = -5a + 11 > 0$ より $a < \frac{11}{5}$

よって $a < -1$

(iii) 頂点のx座標が $-1 < a < 3$ にあり、頂点のy座標が0の場合。

$a = 2, -1$ だが、$-1 < a < 3$ なので $a=2$

このとき $f(x) = (x-2)^2$ であり、$f(x)=0$となるのは$x=2$のみ。

$-1 < 2 < 3$ なので、$a=2$は条件を満たす。

(iv) $f(-1) = 0$ のとき

$3a+3=0$ より $a=-1$

$f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$f(x) = 0$ となるのは $x = -1$ のみ。

$-1 < x < 3$ の範囲では共有点を持たないため、不適。

(v) $f(3) = 0$ のとき

$-5a + 11 = 0$ より $a = \frac{11}{5}$

$f(x) = x^2 - \frac{22}{5} x + \frac{11}{5} + 2 = x^2 - \frac{22}{5} x + \frac{21}{5}$

$f(x) = (x - \frac{11}{5})^2 - (\frac{11}{5})^2 + \frac{21}{5} = (x - \frac{11}{5})^2 - \frac{121}{25} + \frac{105}{25} = (x - \frac{11}{5})^2 - \frac{16}{25}$

$f(3) = 9 - \frac{66}{5} + \frac{21}{5} = 9 - \frac{45}{5} = 9 - 9 = 0$

$f(x) = 0$ となるのは $x = \frac{11}{5} \pm \frac{4}{5} = \frac{15}{5}, \frac{7}{5} = 3, \frac{7}{5}$

$-1 < \frac{7}{5} < 3$ なので、$x=\frac{7}{5}$ が$-1 < x < 3$の範囲で共有点を持つ。

$a=\frac{11}{5}$は条件を満たす。

したがって、$a < -1$, $a > \frac{11}{5}$, $a=2$, $a=\frac{11}{5}$より、

$a \leq -1, a \geq \frac{11}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $(a, -a^2 + a + 2)$

(2) $a = 2, -1$

(3) $a \leq -1, a \geq \frac{11}{5}$