与えられた2つの対数の式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_2 12 - \log_4 36$ (2) $\log_2 3 \cdot \log_3 4$

1. 問題の内容

与えられた2つの対数の式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_2 12 - \log_4 36$

(2) $\log_2 3 \cdot \log_3 4$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\log_4 36$ の底を2に変換します。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用います。

$\log_4 36 = \frac{\log_2 36}{\log_2 4} = \frac{\log_2 36}{2}$

したがって、

$\log_2 12 - \log_4 36 = \log_2 12 - \frac{\log_2 36}{2}$

ここで、$12 = 2^2 \cdot 3$、$36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$ なので、

$\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3$

$\log_2 36 = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 = 2 + 2\log_2 3$

元の式に代入すると、

$\log_2 12 - \frac{\log_2 36}{2} = (2 + \log_2 3) - \frac{2 + 2\log_2 3}{2} = 2 + \log_2 3 - (1 + \log_2 3) = 2 + \log_2 3 - 1 - \log_2 3 = 1$

(2)

$\log_2 3 \cdot \log_3 4$

底の変換公式を用いて、$\log_3 4$ の底を2に変換します。

$\log_3 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3} = \frac{\log_2 2^2}{\log_2 3} = \frac{2}{\log_2 3}$

したがって、

$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 3 \cdot \frac{2}{\log_2 3} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2