次の条件を満たす放物線の方程式を求めます。 (1) 軸が $x = -1$ で、2点 $(0, 2)$, $(1, -1)$ を通る。 (2) 3点 $(-1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 6)$ を通る。 (3) 3点 $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(0, 4)$ を通る。 (4) 放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、点 $(1, 3)$ を通る。

はい、承知しました。画像にある問題17の(1)から(4)を解きます。

1. 問題の内容

次の条件を満たす放物線の方程式を求めます。

(1) 軸が $x = -1$ で、2点 $(0, 2)$, $(1, -1)$ を通る。

(2) 3点 $(-1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 6)$ を通る。

(3) 3点 $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(0, 4)$ を通る。

(4) 放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したもので、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、点 $(1, 3)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x = -1$ であるから、求める放物線の方程式は $y = a(x + 1)^2 + q$ とおける。

2点 $(0, 2)$, $(1, -1)$ を通るので、

$2 = a(0 + 1)^2 + q = a + q$

$-1 = a(1 + 1)^2 + q = 4a + q$

この連立方程式を解くと、

$3a = -3$ より $a = -1$

$q = 2 - a = 2 - (-1) = 3$

よって $y = -(x + 1)^2 + 3 = -(x^2 + 2x + 1) + 3 = -x^2 - 2x + 2$

(2) 求める放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点 $(-1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 6)$ を通るので、

$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$3 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c$

$6 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$

この連立方程式を解く。

$3a + 3b = -3$ より $a + b = -1$

$5a + b = 3$

$4a = 4$ より $a = 1$

$b = -1 - a = -1 - 1 = -2$

$c = 6 - a + b = 6 - 1 - 2 = 3$

よって $y = x^2 - 2x + 3$

(3) 3点 $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(0, 4)$ を通るので、2点$(-1,0),(2,0)$を通るので、$y=a(x+1)(x-2)$とおける。

点(0,4)を通るので、$4=a(0+1)(0-2)=-2a$より、$a=-2$

よって$y=-2(x+1)(x-2)=-2(x^2-x-2)=-2x^2+2x+4$

(4) 放物線 $y = -2x^2$ を平行移動したものなので、求める放物線の方程式は $y = -2(x - p)^2 + q$ とおける。

頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$q = 2p + 1$

よって $y = -2(x - p)^2 + 2p + 1$

点 $(1, 3)$ を通るので、

$3 = -2(1 - p)^2 + 2p + 1$

$2 = -2(1 - 2p + p^2) + 2p$

$1 = -(1 - 2p + p^2) + p$

$1 = -1 + 2p - p^2 + p$

$p^2 - 3p + 2 = 0$

$(p - 1)(p - 2) = 0$

$p = 1, 2$

$p = 1$ のとき $q = 2(1) + 1 = 3$

$y = -2(x - 1)^2 + 3 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3 = -2x^2 + 4x + 1$

$p = 2$ のとき $q = 2(2) + 1 = 5$

$y = -2(x - 2)^2 + 5 = -2(x^2 - 4x + 4) + 5 = -2x^2 + 8x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 - 2x + 2$

(2) $y = x^2 - 2x + 3$

(3) $y = -2x^2 + 2x + 4$

(4) $y = -2x^2 + 4x + 1$ または $y = -2x^2 + 8x - 3$