数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ で定義されています。 (1) $\sum_{k=1}^n a_k = a_{n+2} - 1$ を数学的帰納法で証明してください。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ で定義されています。

(1) $\sum_{k=1}^n a_k = a_{n+2} - 1$ を数学的帰納法で証明してください。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて、$\sum_{k=1}^n a_k = a_{n+2} - 1$ を証明します。

(I) $n=1$ のとき:

左辺は $a_1 = 1$。

右辺は $a_{1+2} - 1 = a_3 - 1 = (a_2 + a_1) - 1 = (1+1) - 1 = 1$。

よって、$n=1$ のとき等式は成立します。

(II) $n=2$ のとき:

左辺は $a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2$。

右辺は $a_{2+2} - 1 = a_4 - 1 = (a_3 + a_2) - 1 = (2 + 1) - 1 = 2$。

よって、$n=2$ のとき等式は成立します。

(III) $n=k$ のとき、等式が成立すると仮定します。つまり、

$\sum_{i=1}^k a_i = a_{k+2} - 1$ が成り立つと仮定します。

この仮定のもとで、$n=k+1$ のときも等式が成立することを示します。

すなわち、$\sum_{i=1}^{k+1} a_i = a_{(k+1)+2} - 1 = a_{k+3} - 1$ を示します。

$\sum_{i=1}^{k+1} a_i = \sum_{i=1}^k a_i + a_{k+1} = (a_{k+2} - 1) + a_{k+1} = a_{k+1} + a_{k+2} - 1 = a_{k+3} - 1$

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成立します。

(I), (II), (III) より、すべての自然数 $n$ について、$\sum_{i=1}^n a_i = a_{n+2} - 1$ が成立します。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n a_k = a_{n+2} - 1$