関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値が 7 であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値が 7 であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + c = 2(x^2 + 2x) + c = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = 2(x+1)^2 - 2 + c$

よって、

$y = 2(x+1)^2 + c - 2$

この関数の軸は $x = -1$ であり、定義域 $-2 \le x \le 1$ に含まれています。

$x = -1$ のとき、$y = c - 2$ であり、これは頂点のy座標なので、最小値となります。

次に、定義域の端点 $x = -2$ と $x = 1$ での $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、 $y = 2(-2+1)^2 + c - 2 = 2(-1)^2 + c - 2 = 2 + c - 2 = c$

$x = 1$ のとき、 $y = 2(1+1)^2 + c - 2 = 2(2)^2 + c - 2 = 8 + c - 2 = c + 6$

$c$, $c+6$ のうち、$c+6$ の方が大きいので、定義域における最大値は $x=1$ のときの $c+6$ となります。

問題文より、この最大値が7なので、

$c+6 = 7$

したがって、 $c = 7 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

$c = 1$