$a < b < c$ のとき、方程式 $(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つことを示し、その解と定数 $a, b, c$ との大小関係を調べる。

1. 問題の内容

$a < b < c$ のとき、方程式 $(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つことを示し、その解と定数 $a, b, c$ との大小関係を調べる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を展開し、整理します。

$(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$

$x^2 - (a+c)x + ac + x^2 - 2bx + b^2 = 0$

$2x^2 - (a+c+2b)x + ac + b^2 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (a+c+2b)^2 - 4(2)(ac + b^2)$

$D = a^2 + c^2 + 4b^2 + 2ac + 4ab + 4bc - 8ac - 8b^2$

$D = a^2 + c^2 - 4b^2 - 6ac + 4ab + 4bc$

$D = a^2 - 2ac + c^2 - 4b^2 - 4ac + 4ab + 4bc$

$D = (a-c)^2 + 4b(a+c) -4b^2 - 4ac$

$D = (a-c)^2 + 4b(a-b) + 4b(c-b)$

ここで、$a < b < c$ であるから、$a-c<0$、$a-b<0$、$c-b>0$である。

$a-c<0$より、$(a-c)^2>0$

$a-b<0$より、$4b(a-b)<0$

$c-b>0$より、$4b(c-b)>0$

$D>0$を示すために、より変形します。

$D = (a-c)^2 + 4b(a-b) + 4b(c-b)$

$D = (a-c)^2 - 4b(b-a) + 4b(c-b)$

$D = (a-c)^2 + 4b(c-b-(b-a))$

$D = (a-c)^2 + 4b(a+c-2b)$

ここで、$a+c > 2b$が成り立つことを示す。$b-a>0$かつ$c-b>0$より、$c-b > 0$かつ$b-a > 0$。

$c>b$かつ$a<b$より、$c+a>2b$

したがって、$a+c-2b>0$。

よって、$4b(a+c-2b)>0$

$(a-c)^2>0$なので、$D>0$となる。

したがって、与えられた2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。

次に、解を$\alpha, \beta$とおき、解と係数の関係を用いる。

$\alpha + \beta = \frac{a+c+2b}{2}$

$\alpha \beta = \frac{ac+b^2}{2}$

解の配置を考察する。

$f(x) = (x-a)(x-c) + (x-b)^2$ とおく。

$f(a) = (a-b)^2 > 0$

$f(b) = (b-a)(b-c) < 0$

$f(c) = (c-b)^2 > 0$

$a < b < c$ であり、$f(a) > 0, f(b) < 0, f(c) > 0$ であるから、少なくとも1つの解が区間 $(a, b)$ に、もう1つの解が区間 $(b, c)$ に存在する。

したがって、2つの解$\alpha, \beta$は、

$a < \alpha < b < \beta < c$を満たす。

3. 最終的な答え

方程式 $(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。

解を $\alpha, \beta$ とすると、$a < \alpha < b < \beta < c$ が成り立つ。