2次方程式 $4x^2 - 8ax + a = 0$ が、1より小さい正の数の解を少なくとも1つ持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $4x^2 - 8ax + a = 0$ が、1より小さい正の数の解を少なくとも1つ持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を $f(x) = 4x^2 - 8ax + a$ とおきます。

判別式を $D$ とすると、$D = (-8a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot a = 64a^2 - 16a = 16a(4a-1)$ となります。

$f(x) = 0$ が実数解を持つためには、$D \ge 0$ が必要なので、$16a(4a-1) \ge 0$ より、$a \le 0$ または $a \ge \frac{1}{4}$ が必要です。

次に、$f(x) = 0$ が少なくとも1つの正の解を持つためには、以下の条件のいずれかが満たされる必要があります。

(i) $f(0) < 0$ のとき

$f(0) = a$ なので、$a < 0$ となります。これは、$a \le 0$ を満たしています。このとき、解は必ず正と負になるので、正の解を一つ持つことになります。しかし、正の解が１より小さいとは限りません。

(ii) $f(0) = 0$ のとき

$a=0$のとき、$4x^2 = 0$ より $x=0$となり、条件を満たしません。

(iii) $f(0) > 0$ のとき

$f(0) = a > 0$ となります。このとき、$f(x)=0$が正の解を一つ持つには、軸が正である必要があり、かつ、$f(x) = 0$が実数解を持つ必要があります。

軸は、$x = \frac{-(-8a)}{2\cdot 4} = a$ であり、$a>0$ を満たしています。

このとき、解は正になる可能性があります。

さらに、$f(1) \le 0$であれば、$0 < x \le 1$ の範囲に少なくとも一つの解を持つことになります。

$f(1) = 4 - 8a + a = 4 - 7a \le 0$ より、$7a \ge 4$ なので、$a \ge \frac{4}{7}$ となります。

$a \ge \frac{1}{4}$と、$a \ge \frac{4}{7}$ の共通範囲は、$a \ge \frac{4}{7}$です。

$f(x) = 0$ が $0 < x < 1$ の範囲に少なくとも1つの解を持つ条件は、$a \le 0$ または $a \ge \frac{4}{7}$ です。

3. 最終的な答え

$a \le 0$ または $a \ge \frac{4}{7}$