二次関数 $y = -x^2 + 4x - 2$ の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 4x - 2$ の $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x - 2$

$y = -(x^2 - 4x) - 2$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2$

$y = -((x - 2)^2 - 4) - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 4 - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 2$

これで、頂点の座標が $(2, 2)$ であることが分かります。また、$x^2$ の係数が負であることから、このグラフは上に凸の放物線です。

定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x = 2$ は定義域に含まれるので、 $x = 2$ のとき最大値をとります。

最大値は $y = -(2 - 2)^2 + 2 = 2$ です。

次に、定義域の端の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = -(0 - 2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

$x = 4$ のとき、$y = -(4 - 2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、最小値は $x = 0$ または $x = 4$ のときにとり、最小値は $-2$ です。

3. 最終的な答え

$x = 2$ のとき最大値 $2$

$x = 0$ または $x = 4$ のとき最小値 $-2$