問題文は「次の空欄に当てはまる数を求めよ。ただし、$a > 0$ とする。$\sqrt[ ]{a} \times \sqrt[3]{a} = a$」です。この問題は、累乗根の計算を行い、与えられた等式を満たすような$\sqrt[3]{ }$の部分に入る数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題文は「次の空欄に当てはまる数を求めよ。ただし、$a > 0$ とする。$\sqrt[ ]{a} \times \sqrt[3]{a} = a$」です。この問題は、累乗根の計算を行い、与えられた等式を満たすような$\sqrt[3]{ }$の部分に入る数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[ ]{a}$を指数を使って表します。$\sqrt[ ]{a} = a^{\frac{1}{2}}$です。

同様に、$\sqrt[3]{a}$を指数を使って表すと、$a^{\frac{1}{3}}$となります。

与えられた式は $\sqrt[ ]{a} \times \sqrt[3]{a} = a$ ですので、指数を使って書き換えると、$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a$ となります。

左辺を整理します。指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使うと、$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$となります。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ なので、$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}$となります。

したがって、$a^{\frac{5}{6}} = a$ となります。$a$ は $a^1$ と書けるので、$a^{\frac{5}{6}} = a^1$ となります。

両辺の指数を比較すると、$\frac{5}{6} = 1$ となる必要がありますが、これは成り立ちません。問題文に誤植があるか、または解答を求める形式が異なっている可能性があります。

もし問題が $\sqrt[x]{a}$ (xに当てはまる数を求める)ならば、問題は $\sqrt{a} \times \sqrt[x]{a} = a$　となります。

$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{x}} = a$

$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{x}} = a^1$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = 1$

$\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

$x = 2$

この場合は、$\sqrt[2]{a}$ つまり、 $\sqrt{a}$ なので、問題が $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ であれば正しいです。

しかし、今回の問題文では $\sqrt[3]{a}$ となっているので、問題文が間違っているか、 $\sqrt[x]{a}$ の x を答える問題だと仮定します。

正しい問題が $\sqrt{a} \times \sqrt[x]{a} = a$ であれば、

$a^{1/2} \times a^{1/x} = a^1$

$a^{1/2 + 1/x} = a^1$

$1/2 + 1/x = 1$

$1/x = 1 - 1/2 = 1/2$

$x=2$

よって、空欄に入る数は 2 です。

元の問題文の$\sqrt[3]{a}$の部分が$\sqrt[x]{a}$だと仮定して、xを求めることにします。

3. 最終的な答え

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