与えられた4x4の行列の行列式を計算します。 行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 5 \\ 6 & 2 & 3 & 7 \\ 3 & 0 & 9 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列の行列式を計算します。

行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & 1 & 4 \\

2 & 1 & 3 & 5 \\

6 & 2 & 3 & 7 \\

3 & 0 & 9 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を使用します。

第1行に関する余因子展開を使用することにします。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & 1 & 4 \\

2 & 1 & 3 & 5 \\

6 & 2 & 3 & 7 \\

3 & 0 & 9 & 5

\end{vmatrix}

= 1 \cdot C_{11} + 4 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 4 \cdot C_{14}

$$

ここで、$C_{ij}$は要素$(i, j)$に関する余因子を表します。

余因子は$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$で与えられ、$M_{ij}$は要素$(i, j)$に関する小行列式です。

$M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 0 & 9 & 5 \end{vmatrix} = 1(15-63) - 3(10-0) + 5(18-0) = -48 - 30 + 90 = 12$

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 12$

$M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 6 & 3 & 7 \\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix} = 2(15-63) - 3(30-21) + 5(54-9) = -96 - 27 + 225 = 102$

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -102$

$M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 2(10-0) - 1(30-21) + 5(0-6) = 20 - 9 - 30 = -19$

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = -19$

$M_{14} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 9 \end{vmatrix} = 2(18-0) - 1(54-9) + 3(0-6) = 36 - 45 - 18 = -27$

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = 27$

したがって、行列式は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 4 & 1 & 4 \\

2 & 1 & 3 & 5 \\

6 & 2 & 3 & 7 \\

3 & 0 & 9 & 5

\end{vmatrix}

= 1(12) + 4(-102) + 1(-19) + 4(27) = 12 - 408 - 19 + 108 = -307

$$

3. 最終的な答え

-307