与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \\ -10 & -8 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & -6 & 7 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

1 & 1 & 4 & -2 \\

-10 & -8 & 0 & -2 \\

4 & 2 & -6 & 7

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1: 第2行から第1行を引きます (R2 -> R2 - R1)。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

-10 & -8 & 0 & -2 \\

4 & 2 & -6 & 7

\end{vmatrix}$

ステップ2: 第3行に第1行の10倍を加えます (R3 -> R3 + 10*R1)。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

4 & 2 & -6 & 7

\end{vmatrix}$

ステップ3: 第4行から第1行の4倍を引きます (R4 -> R4 - 4*R1)。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & -2 & -38 & -9

\end{vmatrix}$

ステップ4: 第2行と第3行を入れ替えます (R2 <-> R3)。この操作によって行列式の符号が反転します。

$-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & -2 & -38 & -9

\end{vmatrix}$

ステップ5: 第4行に第2行を加えます (R4 -> R4 + R2)。

$-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 0 & 42 & 29

\end{vmatrix}$

ステップ6: 第4行に第3行の42/4倍を加えます (R4 -> R4 + (42/4)*R3)。

$-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 0 & 0 & 29 - (42/4)*6

\end{vmatrix}$

$29 - (42/4)*6 = 29 - 42*(3/2) = 29 - 21*3 = 29 - 63 = -34$

したがって、

$-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 0 & 0 & -34

\end{vmatrix}$

行列式は対角成分の積で与えられます。

$-(1 * 2 * -4 * -34) = -(272) = -272$

3. 最終的な答え

-272