関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられ、 $t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおく。 (1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。 (2) $f(x)$ を $t$ の式で表せ。 (3) $x$ の方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値と、3つの実数解を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x}$ が与えられ、 $t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ とおく。

(1) $t$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

(2) $f(x)$ を $t$ の式で表せ。

(3) $x$ の方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値と、3つの実数解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t$ の最小値を求める。

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ に対して、相加平均・相乗平均の関係を用いる。

$3^x > 0$ , $3^{-x} > 0$ なので、

$\frac{4 \cdot 3^x + 3^{-x}}{2} \geq \sqrt{4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}} = \sqrt{4} = 2$

$4 \cdot 3^x + 3^{-x} \geq 4$

よって、$t$ の最小値は $4$ である。

等号成立条件は $4 \cdot 3^x = 3^{-x}$ 、つまり $4 \cdot 3^{2x} = 1$ 。

$3^{2x} = \frac{1}{4}$ より $2x = \log_3{\frac{1}{4}} = - \log_3{4}$

$x = - \frac{1}{2} \log_3{4} = \log_3{\frac{1}{2}}$

(2) $f(x)$ を $t$ の式で表す。

$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ より、

$t^2 = (4 \cdot 3^x + 3^{-x})^2 = 16 \cdot 9^x + 8 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} \cdot 4 + 9^{-x} = 16 \cdot 9^x + 8 \cdot 4 + 9^{-x} = 16 \cdot 9^x + 32 + 9^{-x}$

$f(x) = 16 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^{x+2} - 3^{-x+2} + 9^{-x} = 16 \cdot 9^x - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} + 9^{-x}$

$f(x) = (16 \cdot 9^x + 9^{-x}) - 9 (4 \cdot 3^x + 3^{-x}) = (16 \cdot 9^x + 9^{-x}) - 9t$

$t^2 = 16 \cdot 9^x + 32 + 9^{-x}$ より、 $16 \cdot 9^x + 9^{-x} = t^2 - 32$

$f(x) = t^2 - 32 - 9t = t^2 - 9t - 32$

(3) $f(x) = k$ の実数解の個数を考える。

$t^2 - 9t - 32 = k$

$t^2 - 9t - 32 - k = 0$

$t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4(32+k)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{209 + 4k}}{2}$

$t \geq 4$ であり、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ を満たす $x$ の個数を調べる。

$4 \cdot 3^x + 3^{-x} = t$

$4 \cdot 3^{2x} - t \cdot 3^x + 1 = 0$

$3^x = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 16}}{8}$

$f(x) = k$ が3つの実数解を持つためには、$t$ の値が2つ存在する必要があり、そのうち一つは$t=4$になる必要がある。

$t^2 - 9t - 32 - k = 0$ の解の一つが $t=4$ であるとすると、

$16 - 36 - 32 - k = 0$

$k = -52$

このとき、$t^2 - 9t + 20 = 0$

$(t-4)(t-5) = 0$

$t=4,5$

$t=4$ のとき、$4 \cdot 3^x + 3^{-x} = 4$ より $4 \cdot 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 1 = 0$

$(2 \cdot 3^x - 1)^2 = 0$

$3^x = \frac{1}{2}$

$x = \log_3{\frac{1}{2}}$ (重解)

$t=5$ のとき、$4 \cdot 3^x + 3^{-x} = 5$ より $4 \cdot 3^{2x} - 5 \cdot 3^x + 1 = 0$

$(4 \cdot 3^x - 1)(3^x - 1) = 0$

$3^x = \frac{1}{4}, 1$

$x = \log_3{\frac{1}{4}}, 0$

よって、 $x = \log_3{\frac{1}{2}}$ （重解）, $x = \log_3{\frac{1}{4}}, 0$ の3つの実数解を持つ。

3. 最終的な答え

(1) $t$ の最小値: $4$ , そのときの $x$: $\log_3{\frac{1}{2}}$

(2) $f(x) = t^2 - 9t - 32$

(3) $k = -52$ , 実数解: $x = \log_3{\frac{1}{2}}, \log_3{\frac{1}{4}}, 0$