議長1人、書記1人、委員6人の計8人が円形のテーブルに着席するとき、以下の条件を満たすような並び方は何通りあるか。 (1) 議長と書記が真正面に向かい合う。 (2) 議長と書記が隣り合わない。

1. 問題の内容

議長1人、書記1人、委員6人の計8人が円形のテーブルに着席するとき、以下の条件を満たすような並び方は何通りあるか。

(1) 議長と書記が真正面に向かい合う。

(2) 議長と書記が隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 議長と書記が真正面に向かい合う場合

まず、議長の席を固定する。円順列なので、誰か一人の席を固定して考える。

次に、書記の席は議長の真正面で決まる。

残りの委員6人の席は、残りの6席に自由に並ぶので、$6!$ 通り。

したがって、議長と書記が真正面に向かい合う並び方は$6!$通りである。

(2) 議長と書記が隣り合わない場合

まず、8人が円形に並ぶ総数を求める。これは、$(8-1)! = 7!$通りである。

次に、議長と書記が隣り合う場合の数を求める。議長と書記をひとまとめにして考える。

議長と書記のペアと6人の委員の計7人なので、円順列は$(7-1)! = 6!$通り。

議長と書記の並び方は2通りあるので、議長と書記が隣り合う並び方は、$2 \times 6!$通りである。

議長と書記が隣り合わない場合の数は、全体の並び方から隣り合う場合を引けばよいので、

$7! - 2 \times 6! = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 議長と書記が真正面に向かい合う場合：$6! = 720$通り

(2) 議長と書記が隣り合わない場合：$5 \times 6! = 5 \times 720 = 3600$通り