$a$ は正の定数であるとき、関数 $y=x^2-2x-2$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y=x^2-2x-2$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y=x^2-2x-2$ を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 2 = (x-1)^2 - 3$

この放物線の頂点は $(1, -3)$ であり、下に凸です。

定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

(i) $0 < a < 1$ のとき

区間 $[0, a]$ で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=0$ で最大となります。

最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

(ii) $a = 1$ のとき

区間 $[0, 1]$ で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=0$ で最大となります。

最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

(iii) $1 < a$ のとき

$x=0$ と $x=a$ における $y$ の値を比較します。

$x=0$ のとき $y = -2$

$x=a$ のとき $y = a^2 - 2a - 2$

$a^2 - 2a - 2 > -2$ となるのは

$a^2 - 2a > 0$

$a(a-2) > 0$

$a>2$

したがって、$1 < a \le 2$ のときは $x=0$ で最大となり、最大値は $-2$

$a > 2$ のときは $x=a$ で最大となり、最大値は $a^2 - 2a - 2$

まとめると、

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $-2$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $-2$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$