$\sqrt{2} = 1.4142$ とするとき、以下の値を求めなさい。分母の有理化を利用してください。 (1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

1. 問題の内容

$\sqrt{2} = 1.4142$ とするとき、以下の値を求めなさい。分母の有理化を利用してください。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の場合

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} = 1.4142$ を代入します。

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1.4142}{2} = 0.7071$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の場合

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}+1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}+1)}$

$(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

$\sqrt{2} \times (\sqrt{2}+1) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times 1 = 2 + \sqrt{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{2+\sqrt{2}}{1} = 2+\sqrt{2}$

$\sqrt{2} = 1.4142$ を代入します。

$2 + \sqrt{2} = 2 + 1.4142 = 3.4142$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.7071$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = 3.4142$