画像に示されたWork 4, Work 5, Work 6の全問題を解きます。

1. 問題の内容

画像に示されたWork 4, Work 5, Work 6の全問題を解きます。

2. 解き方の手順

Work 4

(1) $\log_8 2 + \log_8 4$

$\log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 = \frac{1}{3}$

$\log_8 4 = \log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3} \log_2 2 = \frac{2}{3}$

$\log_8 2 + \log_8 4 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$

(2) $\log_3 18 - \log_3 2$

$\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(3) $\log_3 2 - \log_3 54$

$\log_3 2 - \log_3 54 = \log_3 \frac{2}{54} = \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$

(4) $\log_2 24 - 5\log_2 \sqrt{3}$

$\log_2 24 - 5\log_2 \sqrt{3} = \log_2 24 - 5\log_2 3^{\frac{1}{2}} = \log_2 24 - \frac{5}{2}\log_2 3 = \log_2 (8 \cdot 3) - \frac{5}{2}\log_2 3 = \log_2 8 + \log_2 3 - \frac{5}{2}\log_2 3 = 3 + \log_2 3 - \frac{5}{2}\log_2 3 = 3 - \frac{3}{2}\log_2 3$

(5) $2\log_3 6 + \log_3 5 - \log_3 20$

$2\log_3 6 + \log_3 5 - \log_3 20 = \log_3 6^2 + \log_3 5 - \log_3 20 = \log_3 36 + \log_3 5 - \log_3 20 = \log_3 \frac{36 \cdot 5}{20} = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(6) $\log_2 \frac{3}{5} + \log_2 \frac{16}{3} - \log_2 \frac{1}{5}$

$\log_2 \frac{3}{5} + \log_2 \frac{16}{3} - \log_2 \frac{1}{5} = \log_2 \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{16}{3}}{\frac{1}{5}} = \log_2 \frac{3}{5} \cdot \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{1} = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

Work 5

(1) $\log_2 5 \times \log_5 4$

$\log_2 5 \times \log_5 4 = \log_2 5 \times \log_5 2^2 = 2 \log_2 5 \times \log_5 2 = 2 \log_2 5 \times \frac{1}{\log_2 5} = 2$

(2) $\frac{\log_9 64}{\log_3 2}$

$\frac{\log_9 64}{\log_3 2} = \frac{\log_{3^2} 2^6}{\log_3 2} = \frac{\frac{6}{2} \log_3 2}{\log_3 2} = \frac{3 \log_3 2}{\log_3 2} = 3$

(3) $\log_2 6 - \log_4 9$

$\log_2 6 - \log_4 9 = \log_2 6 - \log_{2^2} 3^2 = \log_2 6 - \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 6 - \log_2 3 = \log_2 \frac{6}{3} = \log_2 2 = 1$

(4) $\log_3 45 - \log_9 25$

$\log_3 45 - \log_9 25 = \log_3 45 - \log_{3^2} 5^2 = \log_3 45 - \log_3 5 = \log_3 \frac{45}{5} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

Work 6

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{4}$ の大小を比較

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{3}{6} < \frac{4}{6}$

$2^{\frac{3}{6}} < 2^{\frac{4}{6}}$

$\sqrt{2} < \sqrt[3]{4}$

(2) 方程式 $8^x = 2^{x+4}$ を解く

$8^x = 2^{x+4}$

$(2^3)^x = 2^{x+4}$

$2^{3x} = 2^{x+4}$

$3x = x+4$

$2x = 4$

$x = 2$

(3) 不等式 $4^x > 32$ を解く

$4^x > 32$

$(2^2)^x > 2^5$

$2^{2x} > 2^5$

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2}$

(4) 3つの数 $\log_{\frac{1}{3}} 5, \log_{\frac{1}{3}} 0.1, \log_{\frac{1}{3}} 10$ を小さい順に並べる

底が $\frac{1}{3}$ なので, 真数が大きいほど値は小さくなる。

$0.1 < 5 < 10$

$\log_{\frac{1}{3}} 10 < \log_{\frac{1}{3}} 5 < \log_{\frac{1}{3}} 0.1$

(5) 方程式 $\log_3 x + \log_3 (x-6) = 3$ を解く

$\log_3 x + \log_3 (x-6) = 3$

$\log_3 (x(x-6)) = 3$

$x(x-6) = 3^3 = 27$

$x^2 - 6x = 27$

$x^2 - 6x - 27 = 0$

$(x-9)(x+3) = 0$

$x = 9, -3$

真数条件より $x > 0$ かつ $x-6 > 0$ つまり $x > 6$ である必要がある。

よって $x = 9$

(6) 不等式 $\log_3 (x-4) < 2$ を解く

$\log_3 (x-4) < 2$

$x-4 < 3^2 = 9$

$x < 13$

真数条件より $x-4 > 0$ つまり $x > 4$ である必要がある。

よって $4 < x < 13$

3. 最終的な答え

Work 4

(1) 1

(2) 2

(3) -3

(4) $3 - \frac{3}{2} \log_2 3$

(5) 2

(6) 4

Work 5

(1) 2

(2) 3

(3) 1

(4) 2

Work 6

(1) $\sqrt{2} < \sqrt[3]{4}$

(2) $x = 2$

(3) $x > \frac{5}{2}$

(4) $\log_{\frac{1}{3}} 10 < \log_{\frac{1}{3}} 5 < \log_{\frac{1}{3}} 0.1$

(5) $x = 9$

(6) $4 < x < 13$