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定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を計算します。

解析学定積分積分多項式
2025/3/26

1. 問題の内容

定積分 ∫04(6x2−6x+1)dx\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。
∫(6x2−6x+1)dx=6∫x2dx−6∫xdx+∫1dx\int (6x^2 - 6x + 1) dx = 6\int x^2 dx - 6\int x dx + \int 1 dx
=6⋅x33−6⋅x22+x+C=2x3−3x2+x+C= 6\cdot \frac{x^3}{3} - 6\cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 2x^3 - 3x^2 + x + C
次に、定積分を計算します。
∫04(6x2−6x+1)dx=[2x3−3x2+x]04\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx = [2x^3 - 3x^2 + x]_{0}^{4}
=(2(43)−3(42)+4)−(2(03)−3(02)+0)= (2(4^3) - 3(4^2) + 4) - (2(0^3) - 3(0^2) + 0)
=(2(64)−3(16)+4)−(0)= (2(64) - 3(16) + 4) - (0)
=(128−48+4)=84= (128 - 48 + 4) = 84

3. 最終的な答え

84

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