定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を計算します。

解析学定積分積分多項式

2025/3/26

1. 問題の内容

定積分

\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx

の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

\int (6x^2 - 6x + 1) dx = 6\int x^2 dx - 6\int x dx + \int 1 dx

= 6\cdot \frac{x^3}{3} - 6\cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 2x^3 - 3x^2 + x + C

次に、定積分を計算します。

\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx = [2x^3 - 3x^2 + x]_{0}^{4}

= (2(4^3) - 3(4^2) + 4) - (2(0^3) - 3(0^2) + 0)

= (2(64) - 3(16) + 4) - (0)

= (128 - 48 + 4) = 84

3. 最終的な答え

84

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