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定積分 $\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx$ を計算します。

解析学定積分積分不定積分計算
2025/3/26

1. 問題の内容

定積分 ∫14(−3x2+2)dx\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 −3x2+2-3x^2 + 2 の不定積分を求めます。
∫(−3x2+2)dx=−3∫x2dx+2∫dx=−3⋅x33+2x+C=−x3+2x+C\int (-3x^2 + 2) dx = -3 \int x^2 dx + 2 \int dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2x + C = -x^3 + 2x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、求めた不定積分に積分区間の上限と下限の値を代入し、その差を計算します。
積分区間は [1,4][1, 4] であるため、
[−x3+2x]14=(−43+2⋅4)−(−13+2⋅1)=(−64+8)−(−1+2)=−56−1=−57[-x^3 + 2x]_{1}^{4} = (-4^3 + 2 \cdot 4) - (-1^3 + 2 \cdot 1) = (-64 + 8) - (-1 + 2) = -56 - 1 = -57
したがって、定積分の値は −57-57 です。

3. 最終的な答え

-57

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