定積分 $\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (-3x^2 + 2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-3x^2 + 2$ の不定積分を求めます。

$\int (-3x^2 + 2) dx = -3 \int x^2 dx + 2 \int dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2x + C = -x^3 + 2x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、求めた不定積分に積分区間の上限と下限の値を代入し、その差を計算します。

積分区間は $[1, 4]$ であるため、

$[-x^3 + 2x]_{1}^{4} = (-4^3 + 2 \cdot 4) - (-1^3 + 2 \cdot 1) = (-64 + 8) - (-1 + 2) = -56 - 1 = -57$

したがって、定積分の値は $-57$ です。

3. 最終的な答え

-57