三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、辺BCを2:1に内分する点をEとする。直線CDとAEの交点をPとするとき、ベクトルAPをベクトルAB, ACを用いて表し、AP:PEを求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、辺BCを2:1に内分する点をEとする。直線CDとAEの交点をPとするとき、ベクトルAPをベクトルAB, ACを用いて表し、AP:PEを求める問題。

2. 解き方の手順

(ア) $\vec{AD}$ を $\vec{AB}$ で表す。DはABを2:1に内分する点なので、$\vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{AB}$

(イ, ウ) $\vec{AE}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}$ で表す。EはBCを2:1に内分する点なので、$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{BC} = \vec{AB} + \frac{2}{3} (\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$

(エ, オ) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}, s$ で表す。CP:PD = s:(1-s) なので、

$\vec{AP} = (1-s) \vec{AC} + s \vec{AD} = (1-s) \vec{AC} + s (\frac{2}{3} \vec{AB}) = \frac{2}{3}s \vec{AB} + (1-s) \vec{AC}$

(カ, キ) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}, t$ で表す。Pは直線AE上にあるので、$\vec{AP} = t \vec{AE} = t (\frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}) = \frac{t}{3} \vec{AB} + \frac{2t}{3} \vec{AC}$

(ク, ケ) (1)と(2)の係数比較を行う。

$\vec{AB}$ の係数について: $\frac{2}{3}s = \frac{t}{3}$

$\vec{AC}$ の係数について: $1-s = \frac{2t}{3}$

この連立方程式を解く。$t=2s$を$1-s=\frac{2t}{3}$に代入して、$1-s = \frac{4s}{3}$。よって、$\frac{7}{3}s = 1$ より $s = \frac{3}{7}$。$t = 2s = \frac{6}{7}$

(コ, サ) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}, \vec{AC}$ で表す。$s=\frac{3}{7}$を(1)に代入: $\vec{AP} = \frac{2}{3} (\frac{3}{7}) \vec{AB} + (1-\frac{3}{7}) \vec{AC} = \frac{2}{7} \vec{AB} + \frac{4}{7} \vec{AC}$

(シ) $\vec{AP}$ を $\vec{AE}$ で表す。$t=\frac{6}{7}$より$\vec{AP} = \frac{6}{7}\vec{AE}$

(ス, セ) AP:PEを求める。$\vec{AP} = \frac{6}{7} \vec{AE}$より、AP:PE = 6:(7-6) = 6:1

3. 最終的な答え

ア: 2/3

イ: 1/3

ウ: 2/3

エ: 2/3s

オ: 1-s

カ: t/3

キ: 2t/3

ク: 3/7

ケ: 6/7

コ: 2/7

サ: 4/7

シ: 6/7

ス: 6

セ: 1