(1) 中心 $(2, -3, 4)$ で半径 $5$ の球面の方程式を求めます。 (2) 2点 $A(2, 0, -3)$ と $B(-2, 6, 1)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 中心 $(2, -3, 4)$ で半径 $5$ の球面の方程式を求めます。

(2) 2点 $A(2, 0, -3)$ と $B(-2, 6, 1)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 球面の方程式は、中心を $(a, b, c)$、半径を $r$ とすると、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$

で与えられます。

中心が $(2, -3, 4)$、半径が $5$ なので、球面の方程式は

$(x-2)^2 + (y-(-3))^2 + (z-4)^2 = 5^2$

$(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-4)^2 = 25$

となります。

(2) 2点 $A(2, 0, -3)$ と $B(-2, 6, 1)$ を直径の両端とする球面の中心は、線分ABの中点であり、

$(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{-3+1}{2}) = (0, 3, -1)$

となります。

また、球面の半径は、中心から点Aまでの距離に等しく、

$\sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

となります。

したがって、球面の方程式は、

$(x-0)^2 + (y-3)^2 + (z-(-1))^2 = (\sqrt{17})^2$

$x^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 17$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-4)^2 = 25$

(2) $x^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 17$