円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = kx + 4$ が異なる2点P, Qで交わっている。 (1) kの値の範囲を求めよ。 (2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = kx + 4$ が異なる2点P, Qで交わっている。

(1) kの値の範囲を求めよ。

(2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線との距離が円の半径より小さいことである。

円の中心は(0, 0)で、半径は2である。

点と直線の距離の公式より、円の中心(0, 0)と直線 $kx - y + 4 = 0$ の距離は

$$d = \frac{|k \cdot 0 - 0 + 4|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{k^2 + 1}}$$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < 2$ である必要がある。

$$\frac{4}{\sqrt{k^2 + 1}} < 2$$

両辺を2で割って

$$\frac{2}{\sqrt{k^2 + 1}} < 1$$

両辺を逆数にして

$$\frac{\sqrt{k^2 + 1}}{2} > 1$$

両辺に2を掛けて

$$\sqrt{k^2 + 1} > 2$$

両辺を2乗して

$$k^2 + 1 > 4$$

$$k^2 > 3$$

したがって、$k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$

(2) 線分PQの中点Mの座標を(X, Y)とおく。

PとQは直線 $y = kx + 4$ 上の点なので、$Y = kX + 4$

また、線分PQは円の中心を通る直線（つまり、円の直径）に垂直である。

円の中心(0, 0)と点M(X, Y)を通る直線の傾きは $Y/X$である。線分PQの傾きはkなので、

$$\frac{Y}{X} \cdot k = -1$$

$$k = -\frac{X}{Y}$$

これを $Y = kX + 4$ に代入する。

$$Y = -\frac{X}{Y}X + 4$$

$$Y^2 = -X^2 + 4Y$$

$$X^2 + Y^2 - 4Y = 0$$

$$X^2 + (Y - 2)^2 - 4 = 0$$

$$X^2 + (Y - 2)^2 = 4$$

これは中心(0, 2)、半径2の円の方程式である。

しかし、(1)で求めたkの範囲を考慮する必要がある。$k = -\frac{X}{Y}$より、$k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$なので

$$-\frac{X}{Y} < -\sqrt{3} \quad \text{または} \quad -\frac{X}{Y} > \sqrt{3}$$

$$\frac{X}{Y} > \sqrt{3} \quad \text{または} \quad \frac{X}{Y} < -\sqrt{3}$$

$$X > \sqrt{3}Y \quad \text{または} \quad X < -\sqrt{3}Y$$

$X^2 + (Y-2)^2 = 4$に$X=\sqrt{3}Y$を代入すると、

$3Y^2 + Y^2 -4Y = 0$

$4Y^2-4Y=0$

$4Y(Y-1)=0$

$Y=0$または$Y=1$

$X = \sqrt{3}(0) = 0$

$X = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$

$X^2+(Y-2)^2 = 4$に$X=-\sqrt{3}Y$を代入すると、

$3Y^2 + Y^2 -4Y = 0$

$4Y^2-4Y=0$

$4Y(Y-1)=0$

$Y=0$または$Y=1$

$X = -\sqrt{3}(0) = 0$

$X = -\sqrt{3}(1) = -\sqrt{3}$

よって、軌跡は円 $X^2 + (Y - 2)^2 = 4$ において、(0, 0), $(\sqrt{3}, 1)$, $(-\sqrt{3}, 1)$を除く部分。

3. 最終的な答え

(1) $k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$

(2) 中心(0, 2), 半径2の円周上。ただし、点(0, 0), $(\sqrt{3}, 1)$, $(-\sqrt{3}, 1)$を除く。

$x^2 + (y - 2)^2 = 4$ ただし、$(x, y) \neq (0, 0), (\sqrt{3}, 1), (-\sqrt{3}, 1)$