三角形 ABC において、以下の条件が与えられたときに、指定された辺の長さを求める問題です。 (1) $b=4$, $c=\sqrt{3}$, $A=30^\circ$ のとき、$a$ を求める。 (2) $a=\sqrt{3}$, $c=\sqrt{6}$, $B=135^\circ$ のとき、$b$ を求める。 (3) $a=3\sqrt{3}$, $b=2$, $C=150^\circ$ のとき、$c$ を求める。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、以下の条件が与えられたときに、指定された辺の長さを求める問題です。

(1) $b=4$, $c=\sqrt{3}$, $A=30^\circ$ のとき、$a$ を求める。

(2) $a=\sqrt{3}$, $c=\sqrt{6}$, $B=135^\circ$ のとき、$b$ を求める。

(3) $a=3\sqrt{3}$, $b=2$, $C=150^\circ$ のとき、$c$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を使って $a$ を求めます。余弦定理は $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ です。

$a^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$a^2 = 16 + 3 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 19 - 8 \cdot \frac{3}{2}$

$a^2 = 19 - 12 = 7$

$a = \sqrt{7}$

(2) 余弦定理を使って $b$ を求めます。余弦定理は $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ です。

$b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos 135^\circ$

$b^2 = 3 + 6 - 2 \sqrt{18} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$b^2 = 9 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 9 + 3 \cdot 2 = 9 + 6 = 15$

$b = \sqrt{15}$

(3) 余弦定理を使って $c$ を求めます。余弦定理は $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ です。

$c^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 150^\circ$

$c^2 = 27 + 4 - 12\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 31 + 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 31 + 6 \cdot 3 = 31 + 18 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{7}$

(2) $b = \sqrt{15}$

(3) $c = 7$