三角形ABCとその外接円Kがあり、点Cにおける円Kの接線と直線ABの交点をDとする。AD = 9, CD = 6である。接線と弦の作る角の定理、相似な三角形の比などを用いて、問題文中の空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める。

1. 問題の内容

三角形ABCとその外接円Kがあり、点Cにおける円Kの接線と直線ABの交点をDとする。AD = 9, CD = 6である。接線と弦の作る角の定理、相似な三角形の比などを用いて、問題文中の空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める。

2. 解き方の手順

(1) 接線と弦の作る角の定理より、$\angle BCD = \angle BAC$が成り立つ。よって、アには③が入る。

また、$\angle ADC = \angle CDB$は共通の角である。したがって、$\triangle ACD \sim \triangle CBD$が成り立つ。

相似な三角形の辺の比より、$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{CD}$である。ゆえに、イにはAD, ウにはCDが入る。

(2) $\triangle ACD \sim \triangle CBD$より、対応する辺の比が等しいので、

$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$

$AD \cdot BD = CD^2$

よって、エには③が入る。

$AD \cdot BD = CD^2$より、$9 \cdot BD = 6^2$

$9 \cdot BD = 36$

$BD = \frac{36}{9} = 4$

よって、オには4が入る。

3. 最終的な答え

ア: ③

イ: AD

ウ: CD

エ: ③

オ: 4