$x^2 + (y-1)^2 = 1$ を $x$軸を中心に1回転させてできる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + (y-1)^2 = 1$ を $x$軸を中心に1回転させてできる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $x^2 + (y-1)^2 = 1$ は、中心が$(0, 1)$、半径が1の円を表しています。

これを $x$軸を中心に回転させた立体の体積を求めるには、パップス・ギュルダンの定理を用いるのが簡単です。

パップス・ギュルダンの定理とは、平面図形を平面上の軸の周りに回転させてできる回転体の体積は、その図形の面積とその図形の重心が軸の周りを回転してできる円周の積に等しい、というものです。

円の面積は $A = \pi r^2$で計算されます。この場合、$r = 1$なので、$A = \pi (1)^2 = \pi$ です。

円の重心は円の中心に一致します。円の中心は$(0, 1)$なので、重心の $y$座標は1です。

したがって、重心が $x$軸の周りを1回転してできる円の半径は1であり、円周は $2\pi r = 2\pi (1) = 2\pi$ となります。

回転体の体積 $V$ は、パップス・ギュルダンの定理より、$V = A \times (2\pi r) = \pi \times 2\pi = 2\pi^2$ となります。

3. 最終的な答え

$2\pi^2$