縦$x$m、横$y$mの長方形の土地の周囲に、幅$a$mの道がある。道の面積を$S$m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$mとするとき、以下の問いに答える。 (1) $l$を$x$, $y$, $a$を使った式で表す。 (2) $S=al$となることを証明する。

1. 問題の内容

縦$x$m、横$y$mの長方形の土地の周囲に、幅$a$mの道がある。道の面積を$S$m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$mとするとき、以下の問いに答える。

(1) $l$を$x$, $y$, $a$を使った式で表す。

(2) $S=al$となることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 道の真ん中を通る線は、縦が$x+a$、横が$y+a$の長方形の周の長さである。長方形の周の長さは、$2 \times (縦 + 横)$で求められるので、

$l = 2(x+a + y+a)$

$l = 2(x+y+2a)$

$l = 2x + 2y + 4a$

(2) 道全体の面積$S$は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引くことで求められる。

外側の長方形の縦は$x+2a$、横は$y+2a$であるから、面積は$(x+2a)(y+2a)$となる。

内側の長方形の面積は$xy$である。したがって、道の面積$S$は

$S = (x+2a)(y+2a) - xy$

$S = xy + 2ax + 2ay + 4a^2 - xy$

$S = 2ax + 2ay + 4a^2$

$S = a(2x + 2y + 4a)$

(1)より$l = 2x + 2y + 4a$であるから、

$S = al$

したがって、$S = al$が証明された。

3. 最終的な答え

(1) $l = 2x + 2y + 4a$

(2) $S = al$