2点 A(3, 1), B(4, 5) と直線 $y = 2x + 1$ 上の動点 P があるとき、AP + PB を最小にする点 P の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点 A(3, 1), B(4, 5) と直線 $y = 2x + 1$ 上の動点 P があるとき、AP + PB を最小にする点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

AP + PB の最小値を求めるには、点Aまたは点Bのいずれか一方を直線 $y = 2x + 1$ に関して対称な点 A' または B' を求め、A'とBを結ぶ直線、またはAとB'を結ぶ直線と直線 $y = 2x + 1$ の交点を求めることで点 P を決定します。ここでは、点Aの対称点 A' を求めることにします。

まず、直線 $y = 2x + 1$ に垂直で点 A(3, 1) を通る直線の方程式を求めます。

直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ なので、直線の方程式は

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

次に、直線 $y = 2x + 1$ と直線 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ の交点を求めます。

$2x + 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{5}$

$y = 2 \cdot \frac{3}{5} + 1 = \frac{11}{5}$

交点を M とすると、M の座標は $(\frac{3}{5}, \frac{11}{5})$ です。

点 A'(x', y') は、点 M が線分 AA' の中点になるように定まります。

$\frac{x' + 3}{2} = \frac{3}{5}$

$x' + 3 = \frac{6}{5}$

$x' = \frac{6}{5} - 3 = -\frac{9}{5}$

$\frac{y' + 1}{2} = \frac{11}{5}$

$y' + 1 = \frac{22}{5}$

$y' = \frac{22}{5} - 1 = \frac{17}{5}$

したがって、A' の座標は $(-\frac{9}{5}, \frac{17}{5})$ です。

次に、直線 A'B の方程式を求めます。

傾きは、$\frac{5 - \frac{17}{5}}{4 - (-\frac{9}{5})} = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{29}{5}} = \frac{8}{29}$ です。

直線の方程式は

$y - 5 = \frac{8}{29}(x - 4)$

$y = \frac{8}{29}x - \frac{32}{29} + 5 = \frac{8}{29}x + \frac{113}{29}$

点 P は、直線 $y = 2x + 1$ と直線 A'B の交点なので、

$2x + 1 = \frac{8}{29}x + \frac{113}{29}$

$58x + 29 = 8x + 113$

$50x = 84$

$x = \frac{84}{50} = \frac{42}{25}$

$y = 2 \cdot \frac{42}{25} + 1 = \frac{84}{25} + \frac{25}{25} = \frac{109}{25}$

したがって、点 P の座標は $(\frac{42}{25}, \frac{109}{25})$ です。

3. 最終的な答え

$(\frac{42}{25}, \frac{109}{25})$