直線 $y = -\frac{1}{2}x + 4$ 上の点Pのx座標が $a$ である。点A, Bはそれぞれこの直線とx軸、y軸との交点である。点Qは点Pからx軸に垂線を下ろした時の交点である。点Pが線分AB上にあって、台形BOQPの面積が15cm$^2$のとき、点Pの座標を求めなさい。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

1. 問題の内容

直線 $y = -\frac{1}{2}x + 4$ 上の点Pのx座標が $a$ である。点A, Bはそれぞれこの直線とx軸、y軸との交点である。点Qは点Pからx軸に垂線を下ろした時の交点である。点Pが線分AB上にあって、台形BOQPの面積が15cm$^2$のとき、点Pの座標を求めなさい。ただし、座標の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

まず、点Aと点Bの座標を求める。

点Aはx軸との交点なので、$y=0$を代入する。

$0 = -\frac{1}{2}x + 4$

$\frac{1}{2}x = 4$

$x = 8$

よって、点Aの座標は(8, 0)。

点Bはy軸との交点なので、$x=0$を代入する。

$y = -\frac{1}{2}(0) + 4$

$y = 4$

よって、点Bの座標は(0, 4)。

点Pのx座標は $a$ なので、$y = -\frac{1}{2}a + 4$より、点Pの座標は$(a, -\frac{1}{2}a + 4)$。

点Qの座標は$(a, 0)$。

台形BOQPの面積は、(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 なので、

$(4 + (-\frac{1}{2}a + 4)) \times a \div 2 = 15$

$(8 - \frac{1}{2}a) \times a = 30$

$8a - \frac{1}{2}a^2 = 30$

$16a - a^2 = 60$

$a^2 - 16a + 60 = 0$

$(a - 6)(a - 10) = 0$

$a = 6, 10$

$a=10$ は点Aのx座標である8を超えており、点Pは線分AB上にあるという条件に反するので、$a = 6$。

点Pの座標は $(6, -\frac{1}{2}(6) + 4) = (6, -3 + 4) = (6, 1)$

3. 最終的な答え

点Pの座標は (6, 1)