$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\tan \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\tan \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ より、$\tan^2 \theta = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ である。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係式を用いると、

$1 + \frac{2}{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{5}{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{3}{5}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{5}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{5}$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であり、$\tan \theta = \frac{\sqrt{6}}{3} > 0$ なので、$\theta$ は鋭角である。したがって、$\cos \theta > 0$ である。

よって、$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の関係式を用いると、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\sin \theta \ge 0$ である。したがって、$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$

以上より、$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$