ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ の大きさは、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ の間の角度が垂直な時に最大となる。この理由を説明してください。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ の大きさは、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ の間の角度が垂直な時に最大となる。この理由を説明してください。

2. 解き方の手順

外積の定義を確認します。

外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ の大きさは、以下のように表されます。

$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta}$

ここで、$\theta$ はベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の間の角度を表します。

$|\vec{A}|$ と $|\vec{B}|$ はそれぞれのベクトルの大きさなので、$\sin{\theta}$ の値によって $|\vec{A} \times \vec{B}|$ が変化します。

$\sin{\theta}$ の値は、$\theta$ が $90^\circ$ （垂直）の時に最大値1をとります。

$\theta$ が $0^\circ$ または $180^\circ$ の時に最小値0をとります。

したがって、ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の間の角度が垂直（$\theta = 90^\circ$）のとき、$\sin{\theta} = 1$ となり、外積の大きさ $|\vec{A} \times \vec{B}|$ は最大となります。

3. 最終的な答え

外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ の大きさは $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta}$ で与えられ、$\theta$ はベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の間の角度です。

$\sin{\theta}$ は $\theta = 90^\circ$ (垂直) のときに最大値1を取るため、外積の大きさはベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ が垂直なときに最大になります。