三角形ABCにおいて、辺AB上に点R、辺AC上に点Qがあり、AR:RB = 3:1、AQ:QC = 5:2である。線分BQとCRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとするとき、以下の比を求めよ。 (1) BP:PC (2) PO:OA

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上に点R、辺AC上に点Qがあり、AR:RB = 3:1、AQ:QC = 5:2である。線分BQとCRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとするとき、以下の比を求めよ。

(1) BP:PC

(2) PO:OA

2. 解き方の手順

(1) BP:PCを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

与えられた比を代入すると、

$\frac{3}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{2}{5} = 1$

$\frac{6}{5} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{5}{6}$

(2) PO:OAを求める。

メネラウスの定理を三角形ABCと直線AOに関して適用すると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OB} = 1$

これより$\frac{AO}{OP}$を求めたい。

三角形ABQと直線CRに関してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{1}$、 $\frac{BP}{PC} = \frac{5}{6}$より、$\frac{BC}{CP} = \frac{BP + PC}{PC} = \frac{5+6}{6} = \frac{11}{6}$。したがって、

$\frac{3}{1} \cdot \frac{11}{6} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{33}{6} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{11}{2} \cdot \frac{PO}{OA} = 1$

$\frac{PO}{OA} = \frac{2}{11}$

3. 最終的な答え

(1) BP:PC = 5:6

(2) PO:OA = 2:11