与えられた三角形ABCにおいて、以下の線分の長さまたは比を求めます。 (1) CDの長さ（ADは角Aの二等分線） (2) CPの長さ（APは角Aの外角の二等分線） (3) AI : IDの比（ADは角Aの二等分線、Iは内角の二等分線の交点）

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、以下の線分の長さまたは比を求めます。

(1) CDの長さ（ADは角Aの二等分線）

(2) CPの長さ（APは角Aの外角の二等分線）

(3) AI : IDの比（ADは角Aの二等分線、Iは内角の二等分線の交点）

2. 解き方の手順

(1) CDの長さを求める。

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$ が成り立つ。

$BD = 4$, $AB = 6$, $AC = 4$ なので、$4:DC = 6:4$

$6 \cdot DC = 4 \cdot 4$

$DC = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

(2) CPの長さを求める。

角の二等分線の性質（外角）より、$BP:CP = AB:AC$ が成り立つ。

$AB = 4$, $AC = 3$, $BC = 3$ なので、$BP:CP = 4:3$

$BP = BC + CP = 3 + CP$

$(3+CP):CP = 4:3$

$3(3+CP) = 4CP$

$9 + 3CP = 4CP$

$CP = 9$

(3) AI : IDの比を求める。

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$ が成り立つ。

$AB = 7$, $AC = 8$, $BC = 9$ なので、$BD:DC = 7:8$

$BD = \frac{7}{7+8}BC = \frac{7}{15} \cdot 9 = \frac{21}{5}$

次に、BIは角Bの二等分線であるから、$AI:ID = BA:BD$ が成り立つ。

$AI:ID = 7 : \frac{21}{5} = 7 \cdot \frac{5}{21} = \frac{5}{3}$

$AI:ID = 5:3$

3. 最終的な答え

(1) $CD = \frac{8}{3}$

(2) $CP = 9$

(3) $AI:ID = 5:3$