直線 $l: 2x + y - 5 = 0$ に関して、点 $A(-4, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: 2x + y - 5 = 0$ に関して、点 $A(-4, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

点 $A$ と点 $B$ の中点を $M$ とすると、$M$ は直線 $l$ 上にある。

$M$ の座標は $\left(\frac{x-4}{2}, \frac{y+3}{2}\right)$ である。

$M$ が直線 $l$ 上にあるので、

$$2\left(\frac{x-4}{2}\right) + \left(\frac{y+3}{2}\right) - 5 = 0$$

$$x - 4 + \frac{y+3}{2} - 5 = 0$$

$$2x - 8 + y + 3 - 10 = 0$$

$$2x + y - 15 = 0$$

また、直線 $AB$ は直線 $l$ に垂直である。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - 3}{x + 4}$ である。

直線 $l$ の傾きは $-2$ である。

垂直条件より、

$$\frac{y - 3}{x + 4} \cdot (-2) = -1$$

$$\frac{y - 3}{x + 4} = \frac{1}{2}$$

$$2(y - 3) = x + 4$$

$$2y - 6 = x + 4$$

$$x - 2y + 10 = 0$$

2つの式を連立して解く。

$$2x + y - 15 = 0$$

$$x - 2y + 10 = 0$$

2番目の式を2倍して、

$$2x - 4y + 20 = 0$$

1番目の式から引くと、

$$5y - 35 = 0$$

$$y = 7$$

$x - 2y + 10 = 0$ に代入して、

$x - 14 + 10 = 0$

$x = 4$

したがって、点 $B$ の座標は $(4, 7)$ である。

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(4, 7)$。