(7) 図のような二等辺三角形ABCにおいて、$AB = AC$、$CD = CA$であり、点Dから辺ABに下ろした垂線と辺ABとの交点をEとする。このとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

(7) 図のような二等辺三角形ABCにおいて、$AB = AC$、$CD = CA$であり、点Dから辺ABに下ろした垂線と辺ABとの交点をEとする。このとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCが二等辺三角形であることから、$\angle ABC = \angle ACB = 42^\circ$である。

次に、三角形CADが二等辺三角形であることから、$\angle CAD = \angle CDA$である。

三角形CADの内角の和は180度なので、$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACB = 180^\circ$。

$\angle CAD = \angle CDA$より、$2\angle CDA + 42^\circ = 180^\circ$。

$2\angle CDA = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$。

$\angle CDA = 138^\circ / 2 = 69^\circ$。

$\angle BDA$は$\angle CDA$の補角なので、$\angle BDA = 180^\circ - \angle CDA = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$。

三角形BDEにおいて、$\angle DEB = 90^\circ$なので、$\angle x + \angle DBE + \angle DEB = 180^\circ$。

$\angle DBE = \angle ABC = 42^\circ$なので、$\angle x + 42^\circ + 90^\circ = 180^\circ$。

$\angle x = 180^\circ - 42^\circ - 90^\circ = 48^\circ$。

3. 最終的な答え

$\angle x = 48^\circ$