(7) $AB=AC$である二等辺三角形$ABC$があり、辺$BC$上に点$D$を、$CD=CA$となるようにとる。また、点$D$から辺$AB$に下ろした垂線と辺$AB$との交点を$E$とする。このとき、$\angle x$の大きさを求めよ。 (8) 25人の生徒がある期間に読んだ本の冊数を調べた結果のヒストグラムから、読んだ本の冊数の中央値と最頻値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(7) $AB=AC$である二等辺三角形$ABC$があり、辺$BC$上に点$D$を、$CD=CA$となるようにとる。また、点$D$から辺$AB$に下ろした垂線と辺$AB$との交点を$E$とする。このとき、$\angle x$の大きさを求めよ。

(8) 25人の生徒がある期間に読んだ本の冊数を調べた結果のヒストグラムから、読んだ本の冊数の中央値と最頻値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(7)

まず、$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$\angle ABC = \angle ACB = 42^\circ$。

$\triangle CAD$も二等辺三角形なので、$\angle CAD = 180^\circ - 2 \times 42^\circ = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$。

したがって、$\angle BAC = 180^\circ - 2 \times 42^\circ = 96^\circ$。

$\angle BAD = \angle BAC - \angle CAD = 96^\circ - (180^\circ - 2\times 42^\circ)=96^\circ - 96^\circ=0^\circ$

これは図が間違っているか、問題の条件が間違っているかのどちらかである。

$\angle BAC = 180^\circ - 42^\circ - 42^\circ = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$

$\angle ADC = \angle DAC = (180^\circ - 42^\circ)/2 = 69^\circ$

$\angle ADB = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$

$\triangle ADE$において、$\angle AED = 90^\circ$なので、$\angle EAD = 90^\circ - x$

$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC$

$\angle DAC = (180^\circ - \angle ACD)/2 = (180^\circ - 42^\circ)/2 = (138^\circ)/2 = 69^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - 42^\circ \times 2 = 96^\circ$

$\angle BAD = 96^\circ - 69^\circ = 27^\circ$

$\angle ADE = x = 180^\circ - 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$

(8)

25人の中央値は、13番目の人が読んだ冊数。

ヒストグラムから、

1冊読んだ人は3人、

2冊読んだ人は4人、

3冊読んだ人は7人。

したがって、1冊から3冊読んだ人は、3+4+7=14人。

したがって、13番目の人は3冊読んでいる。

中央値は3冊。

最頻値は最も人数の多い冊数なので、4冊読んだ人の8人。

したがって、最頻値は4冊。

3. 最終的な答え

(7) $\angle x = 63^\circ$

(8) 中央値: 3冊, 最頻値: 4冊