1辺の長さが1である正五角形ABCDEにおいて、対角線ACと対角線BEの交点をPとする。 (1) ∠APEを求める。 (2) BE = x とおくとき、APの長さをxを用いて表す。 (3) BEの値を求める。 (4) cos∠APEの値を求める。 (5) 正五角形ABCDEの外接円の半径をRとするとき、R^2を求める。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1辺の長さが1である正五角形ABCDEにおいて、対角線ACと対角線BEの交点をPとする。

(1) ∠APEを求める。

(2) BE = x とおくとき、APの長さをxを用いて表す。

(3) BEの値を求める。

(4) cos∠APEの値を求める。

(5) 正五角形ABCDEの外接円の半径をRとするとき、R^2を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正五角形の内角の和は $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$ なので、一つの内角は $540^\circ / 5 = 108^\circ$。

三角形ABEにおいて、$\angle BAE = \angle ABE = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$。

同様に、三角形ABCにおいて、$\angle BAC = \angle BCA = 36^\circ$。

よって、$\angle APE = \angle BAP + \angle ABP = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$

(2) 正五角形の対角線の長さは等しいので、$AC = BE = x$。

また、$\angle APB = \angle APE = 72^\circ$ である。

三角形APBは二等辺三角形になるので、$AB = AP$。

したがって、$AP = x - 1$

(3) $BE = x$とすると、$x^2 - x - 1 = 0$。

これを解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$BE > 0$より、$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(4) $\cos{\angle APE} = \cos{72^\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

(5) 正弦定理より、$2R = \frac{1}{\sin(36^\circ)}$

$\sin(36^\circ) = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}}$

$R = \frac{1}{2\sin(36^\circ)} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}}} = \sqrt{\frac{8}{4(5-\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{2}{5-\sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{2(5+\sqrt{5})}{20}} = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}$

$R^2 = \frac{5+\sqrt{5}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) ∠APE = 72°

(2) AP = x - 1

(3) BE = (1 + √5) / 2

(4) cos∠APE = (√5 - 1) / 4

(5) R^2 = (5 + √5) / 10