原点Oと点A(3,4)を直径の両端とする円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

原点Oと点A(3,4)を直径の両端とする円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 円の中心を求める

円の中心は、直径の両端の中点なので、原点O(0,0)と点A(3,4)の中点を求めます。

中点の座標は、各座標の平均を取ることで求められます。

したがって、円の中心の座標は、

$((0+3)/2, (0+4)/2) = (3/2, 2)$

となります。

ステップ2: 円の半径を求める

円の半径は、中心から直径の端点までの距離です。

ここでは、円の中心(3/2, 2)から原点(0,0)までの距離を計算します。

距離の公式は、

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

です。

したがって、半径rは、

$r = \sqrt{(3/2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(9/4) + 4} = \sqrt{(9/4) + (16/4)} = \sqrt{25/4} = 5/2$

となります。

ステップ3: 円の方程式を求める

円の方程式は、中心(a,b)、半径rを用いて、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

と表されます。

今回は、中心が(3/2, 2)で、半径が5/2なので、

$(x - 3/2)^2 + (y - 2)^2 = (5/2)^2$

$(x - 3/2)^2 + (y - 2)^2 = 25/4$

展開して整理すると、

$x^2 - 3x + 9/4 + y^2 - 4y + 4 = 25/4$

$x^2 + y^2 - 3x - 4y + 9/4 + 16/4 - 25/4 = 0$

$x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0$

3. 最終的な答え

円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0$

または

$(x - 3/2)^2 + (y - 2)^2 = 25/4$

となります。