半径 $r$、中心角 $a^\circ$ のおうぎ形の弧の長さを $l$、面積を $S$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $S$ を $\pi, a, r$ を使って表します。 (2) $l$ を $\pi, a, r$ を使って表します。 (3) (1), (2) から $\frac{S}{l}$ を $r$ を使って表します。 (4) $S$ を $l, r$ を使って表します。 (5) (4) を使って、半径 $6$ cm, 弧の長さ $4\pi$ cm のおうぎ形の面積を求めます。

1. 問題の内容

半径 $r$、中心角 $a^\circ$ のおうぎ形の弧の長さを $l$、面積を $S$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $S$ を $\pi, a, r$ を使って表します。

(2) $l$ を $\pi, a, r$ を使って表します。

(3) (1), (2) から $\frac{S}{l}$ を $r$ を使って表します。

(4) $S$ を $l, r$ を使って表します。

(5) (4) を使って、半径 $6$ cm, 弧の長さ $4\pi$ cm のおうぎ形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) おうぎ形の面積 $S$ は、円の面積 $\pi r^2$ に、中心角 $a^\circ$ が円全体 $360^\circ$ に占める割合をかけたものです。

$$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360} = \frac{\pi a r^2}{360}$$

(2) おうぎ形の弧の長さ $l$ は、円周 $2\pi r$ に、中心角 $a^\circ$ が円全体 $360^\circ$ に占める割合をかけたものです。

$$l = 2\pi r \times \frac{a}{360} = \frac{2\pi a r}{360} = \frac{\pi a r}{180}$$

(3) (1), (2) より、$\frac{S}{l}$ を計算します。

$$\frac{S}{l} = \frac{\frac{\pi a r^2}{360}}{\frac{\pi a r}{180}} = \frac{\pi a r^2}{360} \times \frac{180}{\pi a r} = \frac{r}{2}$$

(4) (3) の結果 $\frac{S}{l} = \frac{r}{2}$ より、$S$ を $l$ と $r$ を使って表すと、

$$S = \frac{1}{2} l r$$

(5) $r = 6$ cm, $l = 4\pi$ cm を $S = \frac{1}{2} l r$ に代入すると、

$$S = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 6 = 12\pi$$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\pi a r^2}{360}$

(2) $l = \frac{\pi a r}{180}$

(3) $\frac{S}{l} = \frac{1}{2} r$

(4) $S = \frac{1}{2} l r$

(5) $S = 12\pi \text{ cm}^2$