0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字を全て使ってできる5桁の偶数はいくつあるか。ただし、0は最上位には置けない。

## 問1

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字を全て使ってできる5桁の偶数はいくつあるか。ただし、0は最上位には置けない。

2. 解き方の手順

まず、一の位に来る数字で場合分けをします。偶数を作るためには、一の位は0, 2, 4のいずれかである必要があります。

(1) 一の位が0の場合

一の位が0の場合、残りの4桁には1, 2, 3, 4を並べます。

千の位には4通りの数字が入り、百の位には3通り、十の位には2通り、一の位は1通りなので、

$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

(2) 一の位が2または4の場合

一の位が2または4の場合、一の位の選び方は2通りあります。

次に、万の位を考えます。万の位には0以外の数字が入るので、3通りの選び方があります。（0, 2, 4のうち、一の位で使用した数字以外）

残りの3桁には、残った3つの数字を並べます。3つの数字の並べ方は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

したがって、$2 \times 3 \times 6 = 36$ 通りです。

(1)と(2)を合わせて、$24 + 36 = 60$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

60個

## 問2 (1)

1. 問題の内容

2664と1554の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

ユークリッドの互除法は、2つの整数の最大公約数を求めるためのアルゴリズムです。

大きい数を小さい数で割り、余りを求める。次に、小さい数を余りで割り、余りを求める。このプロセスを余りが0になるまで繰り返します。最後に0でない余りが最大公約数となります。

$2664 = 1554 \times 1 + 1110$

$1554 = 1110 \times 1 + 444$

$1110 = 444 \times 2 + 222$

$444 = 222 \times 2 + 0$

最後の0でない余りは222です。

3. 最終的な答え

222

## 問2 (2)

1. 問題の内容

1728と2520の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

ユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求めます。

$2520 = 1728 \times 1 + 792$

$1728 = 792 \times 2 + 144$

$792 = 144 \times 5 + 72$

$144 = 72 \times 2 + 0$

最後の0でない余りは72です。

3. 最終的な答え

72