9つの数字1から9の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作り、小さい順に並べます。 (1) 全部でいくつの整数ができるか。 (2) 345は何番目の整数か。 (3) 345番目の整数は何か。

1. 問題の内容

9つの数字1から9の中から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作り、小さい順に並べます。

(1) 全部でいくつの整数ができるか。

(2) 345は何番目の整数か。

(3) 345番目の整数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 異なる3つの数字の選び方の総数を求める。

9つの数字から3つの数字を選ぶ組み合わせなので、順列ではなく組み合わせを使う。

組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算できる。

この問題では、n=9、r=3なので、

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

全部で84個の整数ができる。

(2) 345が何番目の整数かを考える。

まず、百の位が1である整数は、残りの2つの位に2から9の数字から2つを選ぶ組み合わせであるから、$_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 個ある。

次に、百の位が2である整数も同様に28個ある。

百の位が3で、十の位が1である整数は、残りの一の位に4から9の数字から1つを選ぶ組み合わせであるから、6個ある。314, 315, 316, 317, 318, 319

百の位が3で、十の位が2である整数も同様に6個ある。321, 324, 325, 326, 327, 328, 329

百の位が3で、十の位が4で、一の位が1, 2である整数は2個ある。341, 342

百の位が3で、十の位が4で、一の位が5である整数は345である。

したがって、345は $28 + 28 + 6 + 6 + 2 + 1 = 71$ 番目の整数である。

(3) 345番目の整数を求める。

まず、百の位が1である整数は$_8C_2=28$個、百の位が2である整数も28個、百の位が3である整数も28個である。

$28 \times 3 = 84$なので、345番目の整数は百の位が3,4,5...というような大きい数字ではないことがわかる。

$345 \div 28 = 12$ あまり9。

$12 \times 28=336$ なので、百の位が12番目の数字である整数になる。

1から9までの数字で12番目の数字はないので、考え方を変える。

$84 \times 4 = 336$ なので、4番目の数字までで336個の整数ができる。

$345 - 336 = 9$ なので、5から始まる数字の中で9番目の整数を求めれば良い。

5を百の位に固定する。残りの数字は1,2,3,4,6,7,8,9から2つ選ぶ。

次に、十の位が1である整数を考える。51から始まる整数。残りは2,3,4,6,7,8,9。7個

次に、十の位が2である整数を考える。52から始まる整数。残りは1,3,4,6,7,8,9。7個

$7+7=14 > 9$なので、十の位は2より小さくなる。

十の位が1である整数を小さい順に並べると、

512, 513, 514, 516, 517, 518, 519。

9番目の整数は、14-9=5なので、516である。

したがって、345番目の整数は516である。

3. 最終的な答え

(1) 84通り

(2) 71番目

(3) 516