A地点からB地点まで最短距離で行く経路について、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求める問題です。 (1) P地点を通る場合 (2) P地点を通るがQ地点を通らない場合 (3) R地点を通らない場合

1. 問題の内容

A地点からB地点まで最短距離で行く経路について、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求める問題です。

(1) P地点を通る場合

(2) P地点を通るがQ地点を通らない場合

(3) R地点を通らない場合

2. 解き方の手順

最短経路の総数は、右に何回、下に何回進むかで決まります。AからBへは、右に4回、下に4回進む必要があります。

(1) P地点を通る場合

AからPまでの経路数とPからBまでの経路数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。

AからPへは、右に2回、下に2回進む必要があるので、経路数は $_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

PからBへは、右に2回、下に2回進む必要があるので、経路数は $_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、P地点を通る経路数は $6 \times 6 = 36$通りです。

(2) P地点を通るがQ地点を通らない場合

P地点を通る経路数から、P地点とQ地点の両方を通る経路数を引きます。

P地点を通る経路数は(1)で求めた36通りです。

AからP、PからQ、QからBの経路数をそれぞれ求めます。

AからPへは、6通りです。

PからQへは、右に0回、下に1回進むので、経路数は $_{1}C_{0} = 1$通りです。

QからBへは、右に2回、下に1回進むので、経路数は $_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$通りです。

したがって、P地点とQ地点の両方を通る経路数は $6 \times 1 \times 3 = 18$通りです。

P地点を通るがQ地点を通らない経路数は $36 - 18 = 18$通りです。

(3) R地点を通らない場合

AからBまでのすべての経路数から、R地点を通る経路数を引きます。

AからBまでのすべての経路数は $_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通りです。

AからR、RからBの経路数をそれぞれ求めます。

AからRへは、右に3回、下に1回進むので、経路数は $_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4$通りです。

RからBへは、右に1回、下に3回進むので、経路数は $_{4}C_{1} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 3 \times 2 \times 1} = 4$通りです。

したがって、R地点を通る経路数は $4 \times 4 = 16$通りです。

R地点を通らない経路数は $70 - 16 = 54$通りです。

3. 最終的な答え

(1) P地点を通る場合：36通り

(2) P地点を通るがQ地点を通らない場合：18通り

(3) R地点を通らない場合：54通り