右の図のような道のある地域で、以下の問いに答える問題です。 (1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域で、以下の問いに答える問題です。

(1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短の道順

AからBまで行くには、右に5回、上に2回移動する必要があります。合計7回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ場合の数を考えればよいので、組み合わせの考え方を使います。

$$$$

{}_7C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21

$$$$

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順

AからCまで行くには、右に2回、上に1回移動する必要があります。

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{}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3

$$$$

CからBまで行くには、右に3回、上に1回移動する必要があります。

$$$$

{}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4

$$$$

したがって、AからCを通ってBまで行く最短の道順は、

$3 \times 4 = 12$ 通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順

AからBまで行く最短の道順から、AからCを通ってBまで行く最短の道順を引けばよい。

$21 - 12 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 12通り

(3) 9通り